MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem4a Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem4a 13319
Description: Lemma for 4sqlem4 13320. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem4a  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  S
)
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n    A, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    B( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4a
StepHypRef Expression
1 gzcn 13300 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  A  e.  CC )
21absvalsq2d 12245 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
3 gzcn 13300 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  B  e.  CC )
43absvalsq2d 12245 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( abs `  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) )
52, 4oveqan12d 6100 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
6 elgz 13299 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  A )  e.  ZZ ) )
76simp2bi 973 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Re `  A )  e.  ZZ )
86simp3bi 974 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Im `  A )  e.  ZZ )
97, 8jca 519 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( Re
`  A )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  A )  e.  ZZ ) )
10 elgz 13299 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( B  e.  CC  /\  ( Re `  B
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ ) )
1110simp2bi 973 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Re `  B )  e.  ZZ )
1210simp3bi 974 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Im `  B )  e.  ZZ )
1311, 12jca 519 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( Re
`  B )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  B )  e.  ZZ ) )
14 4sq.1 . . . 4  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
15144sqlem3 13318 . . 3  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  ZZ  /\  ( Im `  A
)  e.  ZZ )  /\  ( ( Re
`  B )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  B )  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  S )
169, 13, 15syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  S )
175, 16eqeltrd 2510 1  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   E.wrex 2706   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988    + caddc 8993   2c2 10049   ZZcz 10282   ^cexp 11382   Recre 11902   Imcim 11903   abscabs 12039   ZZ [ _i ]cgz 13297
This theorem is referenced by:  4sqlem4  13320  mul4sqlem  13321  4sqlem13  13325  4sqlem19  13331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-gz 13298
  Copyright terms: Public domain W3C validator