MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem4a Unicode version

Theorem 4sqlem4a 13014
Description: Lemma for 4sqlem4 13015. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem4a  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  S
)
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n    A, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    B( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4a
StepHypRef Expression
1 gzcn 12995 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  A  e.  CC )
21absvalsq2d 11941 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
3 gzcn 12995 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  B  e.  CC )
43absvalsq2d 11941 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( abs `  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) )
52, 4oveqan12d 5893 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
6 elgz 12994 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  A )  e.  ZZ ) )
76simp2bi 971 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Re `  A )  e.  ZZ )
86simp3bi 972 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Im `  A )  e.  ZZ )
97, 8jca 518 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( Re
`  A )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  A )  e.  ZZ ) )
10 elgz 12994 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( B  e.  CC  /\  ( Re `  B
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ ) )
1110simp2bi 971 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Re `  B )  e.  ZZ )
1210simp3bi 972 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Im `  B )  e.  ZZ )
1311, 12jca 518 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( Re
`  B )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  B )  e.  ZZ ) )
14 4sq.1 . . . 4  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
15144sqlem3 13013 . . 3  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  ZZ  /\  ( Im `  A
)  e.  ZZ )  /\  ( ( Re
`  B )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  B )  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  S )
169, 13, 15syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  S )
175, 16eqeltrd 2370 1  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751    + caddc 8756   2c2 9811   ZZcz 10040   ^cexp 11120   Recre 11598   Imcim 11599   abscabs 11735   ZZ [ _i ]cgz 12992
This theorem is referenced by:  4sqlem4  13015  mul4sqlem  13016  4sqlem13  13020  4sqlem19  13026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-gz 12993
  Copyright terms: Public domain W3C validator