MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem6 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem6 13303
Description: Lemma for 4sq 13324. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem6  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem6
StepHypRef Expression
1 0re 9083 . . . . 5  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3 4sqlem5.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
43zred 10367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 4sqlem5.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
65nnred 10007 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
76rehalfcld 10206 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
84, 7readdcld 9107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR )
95nnrpd 10639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
108, 9modcld 11246 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  RR )
11 modge0 11249 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M ) )
128, 9, 11syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M ) )
132, 10, 7, 12lesub1dd 9634 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  -  ( M  /  2 ) )  <_  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) )
14 df-neg 9286 . . 3  |-  -u ( M  /  2 )  =  ( 0  -  ( M  /  2 ) )
15 4sqlem5.4 . . 3  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1613, 14, 153brtr4g 4236 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
2 )  <_  B
)
17 modlt 11250 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  M )
188, 9, 17syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  M )
195nncnd 10008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
20192halvesd 10205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) )  =  M )
2118, 20breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  ( ( M  /  2 )  +  ( M  /  2
) ) )
2210, 7, 7ltsubaddd 9614 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) )  <  ( M  /  2 )  <->  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  < 
( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) ) ) )
2321, 22mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  <  ( M  / 
2 ) )
2415, 23syl5eqbr 4237 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
2516, 24jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ZZcz 10274   RR+crp 10604    mod cmo 11242
This theorem is referenced by:  4sqlem7  13304  4sqlem10  13307
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fl 11194  df-mod 11243
  Copyright terms: Public domain W3C validator