Theorem 5oalem1 9539

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem1.1	|- A e. SH
5oalem1.2	|- B e. SH
5oalem1.3	|- C e. SH
5oalem1.4	|- R e. SH

Assertion

Ref	Expression
5oalem1	|- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> v e. (B +H (A i^i (C +H R))))

Proof of Theorem 5oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem1.1	. . . . . 6 |- A e. SH
2		5oalem1.3	. . . . . . 7 |- C e. SH
3		5oalem1.4	. . . . . . 7 |- R e. SH
4	2, 3	shscl 9219	. . . . . 6 |- (C +H R) e. SH
5	1, 4	shincl 9269	. . . . 5 |- (A i^i (C +H R)) e. SH
6		5oalem1.2	. . . . 5 |- B e. SH
7	5, 6	shsva 9271	. . . 4 |- ((x e. (A i^i (C +H R)) /\ y e. B) -> (x +h y) e. ((A i^i (C +H R)) +H B))
8	5, 6	shscom 9270	. . . 4 |- ((A i^i (C +H R)) +H B) = (B +H (A i^i (C +H R)))
9	7, 8	syl6eleq 1555	. . 3 |- ((x e. (A i^i (C +H R)) /\ y e. B) -> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R))))
10		pm3.26 319	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> x e. A)
11	10	ad2antrr 404	. . . . 5 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> x e. A)
12		hvaddsub12t 8846	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ z e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h (z -h z)) = (z +h (x -h z)))
13	12	3anidm23 882	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h (z -h z)) = (z +h (x -h z)))
14		hvsubidt 8834	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H~ -> (z -h z) = 0h)
15	14	opreq2d 3967	. . . . . . . . 9 |- (z e. H~ -> (x +h (z -h z)) = (x +h 0h))
16		ax-hvaddid 8813	. . . . . . . . 9 |- (x e. H~ -> (x +h 0h) = x)
17	15, 16	sylan9eqr 1526	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h (z -h z)) = x)
18	13, 17	eqtr3d 1506	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (z +h (x -h z)) = x)
19	1	shel 9021	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> x e. H~)
20	19	ad2antrr 404	. . . . . . 7 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) -> x e. H~)
21	2	shel 9021	. . . . . . . 8 |- (z e. C -> z e. H~)
22	21	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((z e. C /\ (x -h z) e. R) -> z e. H~)
23	18, 20, 22	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (z +h (x -h z)) = x)
24	2, 3	shsva 9271	. . . . . . 7 |- ((z e. C /\ (x -h z) e. R) -> (z +h (x -h z)) e. (C +H R))
25	24	adantl 388	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (z +h (x -h z)) e. (C +H R))
26	23, 25	eqeltrrd 1546	. . . . 5 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> x e. (C +H R))
27	11, 26	jca 288	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (x e. A /\ x e. (C +H R)))
28		elin 2203	. . . 4 |- (x e. (A i^i (C +H R)) <-> (x e. A /\ x e. (C +H R)))
29	27, 28	sylibr 200	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> x e. (A i^i (C +H R)))
30		pm3.27 323	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. B) -> y e. B)
31	30	ad2antrr 404	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> y e. B)
32	9, 29, 31	sylanc 471	. 2 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R))))
33		eleq1 1531	. . 3 |- (v = (x +h y) -> (v e. (B +H (A i^i (C +H R))) <-> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R)))))
34	33	ad2antlr 405	. 2 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (v e. (B +H (A i^i (C +H R))) <-> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R)))))
35	32, 34	mpbird 196	1 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> v e. (B +H (A i^i (C +H R))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   i^i cin 2042  (class class class)co 3954  H~chil 8727   +h cva 8728  0hc0v 8730   -h cmv 8731  SHcsh 8736   +H cph 8739

This theorem is referenced by:  5oalem6 9544

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336  df-neg 5338  df-hvsub 8779  df-sh 9015  df-shsum 9211

Copyright terms: Public domain