Theorem 5oalem3 9592

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem3.1	|- A e. SH
5oalem3.2	|- B e. SH
5oalem3.3	|- C e. SH
5oalem3.4	|- D e. SH
5oalem3.5	|- F e. SH
5oalem3.6	|- G e. SH

Assertion

Ref	Expression
5oalem3	|- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))

Proof of Theorem 5oalem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem3.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2		5oalem3.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
3		5oalem3.5	. . . . . . 7 |- F e. SH
4		5oalem3.6	. . . . . . 7 |- G e. SH
5	1, 2, 3, 4	5oalem2 9591	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (x +h y) = (f +h g)) -> (x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)))
6		5oalem3.3	. . . . . . 7 |- C e. SH
7		5oalem3.4	. . . . . . 7 |- D e. SH
8	6, 7, 3, 4	5oalem2 9591	. . . . . 6 |- ((((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (z +h w) = (f +h g)) -> (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G)))
9	5, 8	anim12i 333	. . . . 5 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (x +h y) = (f +h g)) /\ (((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
10	9	an4s 508	. . . 4 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G))) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
11		anandir 511	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) <-> (((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G))))
12	10, 11	sylanb 449	. . 3 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
13	1, 3	shscl 9269	. . . . 5 |- (A +H F) e. SH
14	2, 4	shscl 9269	. . . . 5 |- (B +H G) e. SH
15	13, 14	shincl 9319	. . . 4 |- ((A +H F) i^i (B +H G)) e. SH
16	6, 3	shscl 9269	. . . . 5 |- (C +H F) e. SH
17	7, 4	shscl 9269	. . . . 5 |- (D +H G) e. SH
18	16, 17	shincl 9319	. . . 4 |- ((C +H F) i^i (D +H G)) e. SH
19	15, 18	shsvs 9324	. . 3 |- (((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))) -> ((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))
20	12, 19	syl 10	. 2 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))
21		hvsubsub4t 8911	. . . . . . 7 |- (((x e. H~ /\ f e. H~) /\ (z e. H~ /\ f e. H~)) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = ((x -h z) -h (f -h f)))
22	21	anandirs 513	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = ((x -h z) -h (f -h f)))
23		hvsubidt 8879	. . . . . . . 8 |- (f e. H~ -> (f -h f) = 0h)
24	23	opreq2d 3973	. . . . . . 7 |- (f e. H~ -> ((x -h z) -h (f -h f)) = ((x -h z) -h 0h))
25	24	adantl 388	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h z) -h (f -h f)) = ((x -h z) -h 0h))
26		hvsubclt 8871	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x -h z) e. H~)
27		hvsub0t 8927	. . . . . . . 8 |- ((x -h z) e. H~ -> ((x -h z) -h 0h) = (x -h z))
28	26, 27	syl 10	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> ((x -h z) -h 0h) = (x -h z))
29	28	adantr 389	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h z) -h 0h) = (x -h z))
30	22, 25, 29	3eqtrd 1510	. . . . 5 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = (x -h z))
31	1	shel 9070	. . . . . . 7 |- (x e. A -> x e. H~)
32	31	adantr 389	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> x e. H~)
33	6	shel 9070	. . . . . . 7 |- (z e. C -> z e. H~)
34	33	adantr 389	. . . . . 6 |- ((z e. C /\ w e. D) -> z e. H~)
35	32, 34	anim12i 333	. . . . 5 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> (x e. H~ /\ z e. H~))
36	3	shel 9070	. . . . . 6 |- (f e. F -> f e. H~)
37	36	adantr 389	. . . . 5 |- ((f e. F /\ g e. G) -> f e. H~)
38	30, 35, 37	syl2an 454	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = (x -h z))
39	38	eleq1d 1539	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) -> (((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))) <-> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G)))))
40	39	adantr 389	. 2 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> (((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))) <-> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G)))))
41	20, 40	mpbid 195	1 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   i^i cin 2044  (class class class)co 3960  H~chil 8772   +h cva 8773  0hc0v 8775   -h cmv 8776  SHcsh 8781   +H cph 8784

This theorem is referenced by:  5oalem4 9593

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612  ax-hilex 8853  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hvaddid 8858  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvmulass 8861  ax-hvdistr1 8862  ax-hvdistr2 8863  ax-hvmul0 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-sub 5343  df-neg 5345  df-hvsub 8824  df-sh 9064  df-shsum 9261

Copyright terms: Public domain