Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  5segofs Unicode version

Theorem 5segofs 24036
Description: Rephrase ax5seg 23973 using the outer five segment predicate. Theorem 2.10 of [Schwabhauser] p. 28. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
5segofs  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. 
OuterFiveSeg  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  /\  A  =/=  B )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )

Proof of Theorem 5segofs
StepHypRef Expression
1 brofs 24035 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. 
OuterFiveSeg  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. 
<->  ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) ) )
21anbi1d 688 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. 
OuterFiveSeg  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  /\  A  =/=  B )  <->  ( ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  /\  A  =/= 
B ) ) )
3 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  /\  A  =/= 
B )  ->  A  =/=  B )
4 simpl1l 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  /\  A  =/= 
B )  ->  B  Btwn  <. A ,  C >. )
5 simpl1r 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  /\  A  =/= 
B )  ->  F  Btwn  <. E ,  G >. )
63, 4, 53jca 1137 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  /\  A  =/= 
B )  ->  ( A  =/=  B  /\  B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. ) )
7 simpl2 964 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  /\  A  =/= 
B )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. ) )
8 simpl3 965 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  /\  A  =/= 
B )  ->  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) )
96, 7, 83jca 1137 . . 3  |-  ( ( ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  /\  A  =/= 
B )  ->  (
( A  =/=  B  /\  B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )
102, 9syl6bi 221 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. 
OuterFiveSeg  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  /\  A  =/=  B )  ->  ( ( A  =/=  B  /\  B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) ) )
11 ax5seg 23973 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( A  =/= 
B  /\  B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )
1210, 11syld 42 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. 
OuterFiveSeg  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  /\  A  =/=  B )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1688    =/= wne 2447   <.cop 3644   class class class wbr 4024   ` cfv 5221   NNcn 9741   EEcee 23923    Btwn cbtwn 23924  Cgrccgr 23925    OuterFiveSeg cofs 24012
This theorem is referenced by:  cgrextend  24038  segconeq  24040  ifscgr  24074  fscgr  24110  btwnconn1lem4  24120  btwnconn1lem8  24124  btwnconn1lem11  24127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-sum 12153  df-ee 23926  df-btwn 23927  df-cgr 23928  df-ofs 24013
  Copyright terms: Public domain W3C validator