MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Unicode version

Theorem 83prm 13140
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm  |- ; 8 3  e.  Prime

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 10004 . . 3  |-  8  e.  NN0
2 3nn 9894 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10153 . 2  |- ; 8 3  e.  NN
4 4nn0 10000 . . . 4  |-  4  e.  NN0
51, 4deccl 10154 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 9999 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 9997 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 9944 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 9899 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 8lt10 9939 . . . 4  |-  8  <  10
119, 4, 1, 10declti 10165 . . 3  |-  8  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10162 . 2  |- ; 8 3  < ;; 8 4 1
13 1lt10 9946 . . 3  |-  1  <  10
149, 6, 7, 13declti 10165 . 2  |-  1  < ; 8
3
15 2cn 9832 . . . 4  |-  2  e.  CC
1615mulid2i 8856 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
17 df-3 9821 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181, 7, 16, 17dec2dvds 13094 . 2  |-  -.  2  || ; 8 3
19 2nn0 9998 . . . 4  |-  2  e.  NN0
20 7nn0 10003 . . . 4  |-  7  e.  NN0
2119, 20deccl 10154 . . 3  |- ; 2 7  e.  NN0
22 2nn 9893 . . 3  |-  2  e.  NN
23 0nn0 9996 . . . 4  |-  0  e.  NN0
24 eqid 2296 . . . 4  |- ; 2 7  = ; 2 7
2519dec0h 10156 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
26 3t2e6 9888 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
2715addid2i 9016 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2826, 27oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
29 6p2e8 9880 . . . . 5  |-  ( 6  +  2 )  =  8
3028, 29eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
3120nn0cni 9993 . . . . . 6  |-  7  e.  CC
32 3cn 9834 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
33 7t3e21 10223 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
3431, 32, 33mulcomli 8860 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
35 ax-1cn 8811 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
36 2p1e3 9863 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3715, 35, 36addcomli 9020 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3819, 7, 19, 34, 37decaddi 10184 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
3919, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 38decma2c 10180 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 2 7 )  +  2 )  = ; 8 3
40 2lt3 9903 . . 3  |-  2  <  3
412, 21, 22, 39, 40ndvdsi 12625 . 2  |-  -.  3  || ; 8 3
42 3lt5 9909 . . 3  |-  3  <  5
431, 2, 42dec5dvds 13095 . 2  |-  -.  5  || ; 8 3
44 7nn 9898 . . 3  |-  7  e.  NN
457, 7deccl 10154 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN0
46 6nn 9897 . . 3  |-  6  e.  NN
4746nnnn0i 9989 . . . 4  |-  6  e.  NN0
48 eqid 2296 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
4947dec0h 10156 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
5031mulid1i 8855 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
5135addid2i 9016 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5250, 51oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 7  +  1 )
53 7p1e8 9868 . . . . 5  |-  ( 7  +  1 )  =  8
5452, 53eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  8
5550oveq1i 5884 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  =  ( 7  +  6 )
56 7p6e13 10194 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
5755, 56eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  = ; 1
3
587, 7, 23, 47, 48, 49, 20, 6, 7, 54, 57decma2c 10180 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 1 )  +  6 )  = ; 8 3
59 6lt7 9917 . . 3  |-  6  <  7
6044, 45, 46, 58, 59ndvdsi 12625 . 2  |-  -.  7  || ; 8 3
61 1nn 9773 . . . 4  |-  1  e.  NN
627, 61decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
6362nncni 9772 . . . . . 6  |- ; 1 1  e.  CC
6463, 31mulcomi 8859 . . . . 5  |-  (; 1 1  x.  7 )  =  ( 7  x. ; 1 1 )
6564oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  =  ( ( 7  x. ; 1
1 )  +  6 )
6665, 58eqtri 2316 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  = ; 8
3
67 6lt10 9941 . . . 4  |-  6  <  10
6861, 7, 47, 67declti 10165 . . 3  |-  6  < ; 1
1
6962, 20, 46, 66, 68ndvdsi 12625 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 8 3
707, 2decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
71 5nn 9896 . . 3  |-  5  e.  NN
7271nnnn0i 9989 . . . 4  |-  5  e.  NN0
73 eqid 2296 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
7472dec0h 10156 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
7546nncni 9772 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
7675mulid2i 8856 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
7776, 27oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
7877, 29eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
79 6t3e18 10218 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
8075, 32, 79mulcomli 8860 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
81 1p1e2 9856 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
82 8p5e13 10198 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
837, 1, 72, 80, 81, 6, 82decaddci 10185 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  5 )  = ; 2
3
847, 6, 23, 72, 73, 74, 47, 6, 19, 78, 83decmac 10179 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  6 )  +  5 )  = ; 8
3
85 5lt10 9942 . . . 4  |-  5  <  10
8661, 6, 72, 85declti 10165 . . 3  |-  5  < ; 1
3
8770, 47, 71, 84, 86ndvdsi 12625 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 8 3
887, 44decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
897, 71decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 5  e.  NN
90 eqid 2296 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
91 eqid 2296 . . . 4  |- ; 1 5  = ; 1 5
924nn0cni 9993 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
9392mulid2i 8856 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
94 3p1e4 9864 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
9532, 35, 94addcomli 9020 . . . . . 6  |-  ( 1  +  3 )  =  4
9693, 95oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  ( 4  +  4 )
97 4p4e8 9875 . . . . 5  |-  ( 4  +  4 )  =  8
9896, 97eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  8
99 7t4e28 10224 . . . . 5  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
10019, 1, 72, 99, 36, 6, 82decaddci 10185 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  4 )  +  5 )  = ; 3
3
1017, 20, 7, 72, 90, 91, 4, 6, 6, 98, 100decmac 10179 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  4 )  + ; 1 5 )  = ; 8
3
102 5lt7 9918 . . . 4  |-  5  <  7
1037, 72, 44, 102declt 10161 . . 3  |- ; 1 5  < ; 1 7
10488, 4, 89, 101, 103ndvdsi 12625 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 8 3
105 9nn 9900 . . . 4  |-  9  e.  NN
1067, 105decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
107 9nn0 10005 . . . 4  |-  9  e.  NN0
108 eqid 2296 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10920dec0h 10156 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
11092addid2i 9016 . . . . . 6  |-  ( 0  +  4 )  =  4
11193, 110oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  ( 4  +  4 )
112111, 97eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  8
113 9t4e36 10237 . . . . 5  |-  ( 9  x.  4 )  = ; 3
6
11431, 75, 56addcomli 9020 . . . . 5  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
1156, 47, 20, 113, 94, 6, 114decaddci 10185 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  4 )  +  7 )  = ; 4
3
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 10179 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  4 )  +  7 )  = ; 8
3
117 7lt10 9940 . . . 4  |-  7  <  10
11861, 107, 20, 117declti 10165 . . 3  |-  7  < ; 1
9
119106, 4, 44, 116, 118ndvdsi 12625 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 8 3
12019, 2decnncl 10153 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
121 4nn 9895 . . . 4  |-  4  e.  NN
1227, 121decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
123 eqid 2296 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
124 eqid 2296 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
12532, 15, 26mulcomli 8860 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
126125, 81oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 6  +  2 )
127126, 29eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  8
128 3t3e9 9889 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
129128oveq1i 5884 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
130 9p4e13 10204 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
131129, 130eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 10179 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  3 )  + ; 1 4 )  = ; 8
3
133 4lt10 9943 . . . 4  |-  4  <  10
134 1lt2 9902 . . . 4  |-  1  <  2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 10162 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 12625 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 8 3
1373, 12, 14, 18, 41, 43, 60, 69, 87, 104, 119, 136prmlem2 13137 1  |- ; 8 3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   6c6 9815   7c7 9816   8c8 9817   9c9 9818  ;cdc 10140   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  bpos1  20538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-prm 12775
  Copyright terms: Public domain W3C validator