MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Unicode version

Theorem 8th4div3 10175
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9032 . . . 4  |-  1  e.  CC
2 8re 10062 . . . . 5  |-  8  e.  RR
32recni 9086 . . . 4  |-  8  e.  CC
4 4cn 10058 . . . 4  |-  4  e.  CC
5 3cn 10056 . . . 4  |-  3  e.  CC
6 8pos 10074 . . . . 5  |-  0  <  8
72, 6gt0ne0ii 9547 . . . 4  |-  8  =/=  0
8 3ne0 10069 . . . 4  |-  3  =/=  0
91, 3, 4, 5, 7, 8divmuldivi 9758 . . 3  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( ( 1  x.  4 )  /  (
8  x.  3 ) )
101, 4mulcomi 9080 . . . 4  |-  ( 1  x.  4 )  =  ( 4  x.  1 )
11 2cn 10054 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
124, 11, 5mul32i 9246 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  2 )  x.  3 )  =  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )
13 4t2e8 10114 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
1413oveq1i 6077 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  2 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  3 )
1512, 14eqtr3i 2452 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )  =  ( 8  x.  3 )
164, 5, 11mulassi 9083 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )  =  ( 4  x.  (
3  x.  2 ) )
1715, 16eqtr3i 2452 . . . . 5  |-  ( 8  x.  3 )  =  ( 4  x.  (
3  x.  2 ) )
18 3t2e6 10112 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
1918oveq2i 6078 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 4  x.  6 )
2017, 19eqtri 2450 . . . 4  |-  ( 8  x.  3 )  =  ( 4  x.  6 )
2110, 20oveq12i 6079 . . 3  |-  ( ( 1  x.  4 )  /  ( 8  x.  3 ) )  =  ( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )
229, 21eqtri 2450 . 2  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )
23 6re 10060 . . . 4  |-  6  e.  RR
2423recni 9086 . . 3  |-  6  e.  CC
25 6pos 10072 . . . 4  |-  0  <  6
2623, 25gt0ne0ii 9547 . . 3  |-  6  =/=  0
27 4re 10057 . . . 4  |-  4  e.  RR
28 4pos 10070 . . . 4  |-  0  <  4
2927, 28gt0ne0ii 9547 . . 3  |-  4  =/=  0
30 divcan5 9700 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6 ) )
311, 30mp3an1 1266 . . 3  |-  ( ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6 ) )
3224, 26, 4, 29, 31mp4an 655 . 2  |-  ( ( 4  x.  1 )  /  ( 4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6
)
3322, 32eqtri 2450 1  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593  (class class class)co 6067   CCcc 8972   0cc0 8974   1c1 8975    x. cmul 8979    / cdiv 9661   2c2 10033   3c3 10034   4c4 10035   6c6 10037   8c8 10039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048
  Copyright terms: Public domain W3C validator