MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Structured version   Unicode version

Theorem 8th4div3 10229
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9086 . . . 4  |-  1  e.  CC
2 8re 10116 . . . . 5  |-  8  e.  RR
32recni 9140 . . . 4  |-  8  e.  CC
4 4cn 10112 . . . 4  |-  4  e.  CC
5 3cn 10110 . . . 4  |-  3  e.  CC
6 8pos 10128 . . . . 5  |-  0  <  8
72, 6gt0ne0ii 9601 . . . 4  |-  8  =/=  0
8 3ne0 10123 . . . 4  |-  3  =/=  0
91, 3, 4, 5, 7, 8divmuldivi 9812 . . 3  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( ( 1  x.  4 )  /  (
8  x.  3 ) )
101, 4mulcomi 9134 . . . 4  |-  ( 1  x.  4 )  =  ( 4  x.  1 )
11 2cn 10108 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
124, 11, 5mul32i 9300 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  2 )  x.  3 )  =  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )
13 4t2e8 10168 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
1413oveq1i 6127 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  2 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  3 )
1512, 14eqtr3i 2465 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )  =  ( 8  x.  3 )
164, 5, 11mulassi 9137 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )  =  ( 4  x.  (
3  x.  2 ) )
1715, 16eqtr3i 2465 . . . . 5  |-  ( 8  x.  3 )  =  ( 4  x.  (
3  x.  2 ) )
18 3t2e6 10166 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
1918oveq2i 6128 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 4  x.  6 )
2017, 19eqtri 2463 . . . 4  |-  ( 8  x.  3 )  =  ( 4  x.  6 )
2110, 20oveq12i 6129 . . 3  |-  ( ( 1  x.  4 )  /  ( 8  x.  3 ) )  =  ( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )
229, 21eqtri 2463 . 2  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )
23 6re 10114 . . . 4  |-  6  e.  RR
2423recni 9140 . . 3  |-  6  e.  CC
25 6pos 10126 . . . 4  |-  0  <  6
2623, 25gt0ne0ii 9601 . . 3  |-  6  =/=  0
27 4re 10111 . . . 4  |-  4  e.  RR
28 4pos 10124 . . . 4  |-  0  <  4
2927, 28gt0ne0ii 9601 . . 3  |-  4  =/=  0
30 divcan5 9754 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6 ) )
311, 30mp3an1 1267 . . 3  |-  ( ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6 ) )
3224, 26, 4, 29, 31mp4an 656 . 2  |-  ( ( 4  x.  1 )  /  ( 4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6
)
3322, 32eqtri 2463 1  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606  (class class class)co 6117   CCcc 9026   0cc0 9028   1c1 9029    x. cmul 9033    / cdiv 9715   2c2 10087   3c3 10088   4c4 10089   6c6 10091   8c8 10093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-riota 6585  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102
  Copyright terms: Public domain W3C validator