Theorem 8th4div3 5988

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	|- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5252	. . . 4 |- 1 e. CC
2		8re 5943	. . . . 5 |- 8 e. RR
3	2	recn 5297	. . . 4 |- 8 e. CC
4		4re 5939	. . . . 5 |- 4 e. RR
5	4	recn 5297	. . . 4 |- 4 e. CC
6		3re 5938	. . . . 5 |- 3 e. RR
7	6	recn 5297	. . . 4 |- 3 e. CC
8		8pos 5953	. . . . 5 |- 0 < 8
9	2, 8	gt0ne0i 5601	. . . 4 |- 8 =/= 0
10		3pos 5948	. . . . 5 |- 0 < 3
11	6, 10	gt0ne0i 5601	. . . 4 |- 3 =/= 0
12	1, 3, 5, 7, 9, 11	divmuldiv 5752	. . 3 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = ((1 x. 4) / (8 x. 3))
13	1, 5	mulcom 5306	. . . 4 |- (1 x. 4) = (4 x. 1)
14	13	opreq1i 3966	. . 3 |- ((1 x. 4) / (8 x. 3)) = ((4 x. 1) / (8 x. 3))
15		2cn 5937	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16	5, 15, 7	mul23 5407	. . . . . 6 |- ((4 x. 2) x. 3) = ((4 x. 3) x. 2)
17		4t2e8 5982	. . . . . . 7 |- (4 x. 2) = 8
18	17	opreq1i 3966	. . . . . 6 |- ((4 x. 2) x. 3) = (8 x. 3)
19	5, 7, 15	mulass 5308	. . . . . 6 |- ((4 x. 3) x. 2) = (4 x. (3 x. 2))
20	16, 18, 19	3eqtr3 1501	. . . . 5 |- (8 x. 3) = (4 x. (3 x. 2))
21		3t2e6 5980	. . . . . 6 |- (3 x. 2) = 6
22	21	opreq2i 3967	. . . . 5 |- (4 x. (3 x. 2)) = (4 x. 6)
23	20, 22	eqtr 1493	. . . 4 |- (8 x. 3) = (4 x. 6)
24	23	opreq2i 3967	. . 3 |- ((4 x. 1) / (8 x. 3)) = ((4 x. 1) / (4 x. 6))
25	12, 14, 24	3eqtr 1497	. 2 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = ((4 x. 1) / (4 x. 6))
26		4pos 5949	. . . 4 |- 0 < 4
27	4, 26	gt0ne0i 5601	. . 3 |- 4 =/= 0
28		6re 5941	. . . . 5 |- 6 e. RR
29	28	recn 5297	. . . 4 |- 6 e. CC
30		6pos 5951	. . . . 5 |- 0 < 6
31	28, 30	gt0ne0i 5601	. . . 4 |- 6 =/= 0
32		divcan5t 5747	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ (6 e. CC /\ 6 =/= 0) /\ (4 e. CC /\ 4 =/= 0)) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 902	. . . 4 |- (((6 e. CC /\ 6 =/= 0) /\ (4 e. CC /\ 4 =/= 0)) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
34	29, 31, 33	mpanl12 707	. . 3 |- ((4 e. CC /\ 4 =/= 0) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
35	5, 27, 34	mp2an 696	. 2 |- ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6)
36	25, 35	eqtr 1493	1 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583  (class class class)co 3958  CCcc 5215  0cc0 5217  1c1 5218   x. cmul 5222   / cdiv 5277  2c2 5918  3c3 5919  4c4 5920  6c6 5922  8c8 5924

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-5 5930  df-6 5931  df-7 5932  df-8 5933

Copyright terms: Public domain