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Theorem a12study9 29742
Description: Experiment to study ax12o 1887. (Contributed by NM, 6-Dec-1015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
a12study9  |-  ( A. z ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  <->  A. z
( -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y    x, z

Proof of Theorem a12study9
StepHypRef Expression
1 exnal 1564 . . 3  |-  ( E. z  -.  z  =  y  <->  -.  A. z 
z  =  y )
2 hba1 1731 . . . . 5  |-  ( A. z  x  =  y  ->  A. z A. z  x  =  y )
3219.23h 1740 . . . 4  |-  ( A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  <->  ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
4 df-ex 1532 . . . . 5  |-  ( E. z  x  =  y  <->  -.  A. z  -.  x  =  y )
54imbi1i 315 . . . 4  |-  ( ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  <->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
63, 5bitr2i 241 . . 3  |-  ( ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  <->  A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
71, 6imbi12i 316 . 2  |-  ( ( E. z  -.  z  =  y  ->  ( -. 
A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
8 hbn1 1716 . . . 4  |-  ( -. 
A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  -.  A. z  -.  x  =  y )
98, 2hbim 1737 . . 3  |-  ( ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  A. z
( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
10919.23h 1740 . 2  |-  ( A. z ( -.  z  =  y  ->  ( -. 
A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( E. z  -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
11 hbn1 1716 . . 3  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  A. z  -.  A. z  z  =  y )
121119.21h 1743 . 2  |-  ( A. z ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  <->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
137, 10, 123bitr4ri 269 1  |-  ( A. z ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  <->  A. z
( -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1530   E.wex 1531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-11 1727
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-ex 1532
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