Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aaitgo Structured version   Unicode version

Theorem aaitgo 27346
 Description: The standard algebraic numbers are generated by IntgOver. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaitgo IntgOver

Proof of Theorem aaitgo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabid 2886 . . 3 Poly coeffdeg Poly coeffdeg
2 qsscn 10587 . . . . 5
3 itgoval 27345 . . . . 5 IntgOver Poly coeffdeg
42, 3ax-mp 8 . . . 4 IntgOver Poly coeffdeg
54eleq2i 2502 . . 3 IntgOver Poly coeffdeg
6 aacn 20236 . . . . 5
7 mpaacl 27337 . . . . . 6 minPolyAA Poly
8 mpaaroot 27339 . . . . . 6 minPolyAA
9 mpaadgr 27338 . . . . . . . 8 degminPolyAA degAA
11 mpaamn 27340 . . . . . . 7 coeffminPolyAAdegAA
1210, 11eqtrd 2470 . . . . . 6 coeffminPolyAAdegminPolyAA
13 fveq1 5729 . . . . . . . . 9 minPolyAA minPolyAA
1413eqeq1d 2446 . . . . . . . 8 minPolyAA minPolyAA
15 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10 minPolyAA coeff coeffminPolyAA
16 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10 minPolyAA deg degminPolyAA
1715, 16fveq12d 5736 . . . . . . . . 9 minPolyAA coeffdeg coeffminPolyAAdegminPolyAA
1817eqeq1d 2446 . . . . . . . 8 minPolyAA coeffdeg coeffminPolyAAdegminPolyAA
1914, 18anbi12d 693 . . . . . . 7 minPolyAA coeffdeg minPolyAA coeffminPolyAAdegminPolyAA
2019rspcev 3054 . . . . . 6 minPolyAA Poly minPolyAA coeffminPolyAAdegminPolyAA Poly coeffdeg
217, 8, 12, 20syl12anc 1183 . . . . 5 Poly coeffdeg
226, 21jca 520 . . . 4 Poly coeffdeg
23 simpl 445 . . . . . . . . 9 Poly coeffdeg Poly
24 coe0 20176 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff
2524fveq1i 5731 . . . . . . . . . . . . . 14 coeffdeg deg
26 dgr0 20182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg
27 0nn0 10238 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2826, 27eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg
29 c0ex 9087 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029fvconst2 5949 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
3128, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14 deg
3225, 31eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13 coeffdeg
33 ax-1ne0 9061 . . . . . . . . . . . . . 14
3433necomi 2688 . . . . . . . . . . . . 13
3532, 34eqnetri 2620 . . . . . . . . . . . 12 coeffdeg
36 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff coeff
37 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg
3836, 37fveq12d 5736 . . . . . . . . . . . . 13 coeffdeg coeffdeg
3938neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . 12 coeffdeg coeffdeg
4035, 39mpbiri 226 . . . . . . . . . . 11 coeffdeg
4140necon2i 2653 . . . . . . . . . 10 coeffdeg
4241ad2antll 711 . . . . . . . . 9 Poly coeffdeg
43 eldifsn 3929 . . . . . . . . 9 Poly Poly
4423, 42, 43sylanbrc 647 . . . . . . . 8 Poly coeffdeg Poly
45 simprl 734 . . . . . . . 8 Poly coeffdeg
4644, 45jca 520 . . . . . . 7 Poly coeffdeg Poly
4746reximi2 2814 . . . . . 6 Poly coeffdeg Poly
4847anim2i 554 . . . . 5 Poly coeffdeg Poly
49 elqaa 20241 . . . . 5 Poly
5048, 49sylibr 205 . . . 4 Poly coeffdeg
5122, 50impbii 182 . . 3 Poly coeffdeg
521, 5, 513bitr4ri 271 . 2 IntgOver
5352eqriv 2435 1 IntgOver
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708  crab 2711   cdif 3319   wss 3322  csn 3816   cxp 4878  cfv 5456  cc 8990  cc0 8992  c1 8993  cn0 10223  cq 10576  c0p 19563  Polycply 20105  coeffccoe 20107  degcdgr 20108  caa 20233  degAAcdgraa 27324  minPolyAAcmpaa 27325  IntgOvercitgo 27341 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-0p 19564  df-ply 20109  df-coe 20111  df-dgr 20112  df-aa 20234  df-dgraa 27326  df-mpaa 27327  df-itgo 27343
 Copyright terms: Public domain W3C validator