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Theorem aaliou2b 20250
Description: Liouville's approximation theorem extended to complex  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou2b  |-  ( A  e.  AA  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Distinct variable group:    A, k, x, p, q

Proof of Theorem aaliou2b
StepHypRef Expression
1 elin 3522 . . 3  |-  ( A  e.  ( AA  i^i  RR )  <->  ( A  e.  AA  /\  A  e.  RR ) )
2 aaliou2 20249 . . 3  |-  ( A  e.  ( AA  i^i  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
31, 2sylbir 205 . 2  |-  ( ( A  e.  AA  /\  A  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4 1nn 10003 . . . 4  |-  1  e.  NN
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  1  e.  NN )
6 aacn 20226 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  AA  ->  A  e.  CC )
76adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
87imcld 11992 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
98recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
10 reim0b 11916 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
116, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  AA  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
1211necon3bbid 2632 . . . . . 6  |-  ( A  e.  AA  ->  ( -.  A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =/=  0 ) )
1312biimpa 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  =/=  0
)
149, 13absrpcld 12242 . . . 4  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR+ )
1514rphalfcld 10652 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  e.  RR+ )
1615adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+ )
17 1nn0 10229 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
18 nnexpcl 11386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( q ^ 1 )  e.  NN )
1917, 18mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q ^ 1 )  e.  NN )
2019ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( q ^ 1 )  e.  NN )
2120nnrpd 10639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( q ^ 1 )  e.  RR+ )
2216, 21rpdivcld 10657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  e.  RR+ )
2322rpred 10640 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  e.  RR )
2416rpred 10640 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR )
257adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  A  e.  CC )
26 znq 10570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
2726adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  QQ )
28 qre 10571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  RR )
3029recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  CC )
3125, 30subcld 9403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( A  -  (
p  /  q ) )  e.  CC )
3231abscld 12230 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  e.  RR )
3320nnge1d 10034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( q ^ 1 ) )
34 1rp 10608 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
35 rpregt0 10617 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
3634, 35mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
3721rpregt0d 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( q ^
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( q ^ 1 ) ) )
3816rpregt0d 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) ) )
39 lediv2 9892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( q ^ 1 )  e.  RR  /\  0  < 
( q ^ 1 ) )  /\  (
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 ) ) )  ->  (
1  <_  ( q ^ 1 )  <->  ( (
( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  1 ) ) )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( 1  <_  (
q ^ 1 )  <-> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
1 ) ) )
4133, 40mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
1 ) )
4216rpcnd 10642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  CC )
4342div1d 9774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  1 )  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) )
4441, 43breqtrd 4228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) )
4514adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR+ )
4645rpred 10640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
47 rphalflt 10630 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  < 
( abs `  (
Im `  A )
) )
4845, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  A )
) )
4925, 30imsubd 12014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  ( p  /  q
) ) ) )
5029reim0d 12022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  (
p  /  q ) )  =  0 )
5150oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( Im `  A )  -  (
Im `  ( p  /  q ) ) )  =  ( ( Im `  A )  -  0 ) )
529adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
5352subid1d 9392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( Im `  A )  -  0 )  =  ( Im
`  A ) )
5449, 51, 533eqtrd 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  =  ( Im
`  A ) )
5554fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  A
) ) )
56 absimle 12106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( p  /  q ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
5731, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )
5855, 57eqbrtrrd 4226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )
5924, 46, 32, 48, 58ltletrd 9222 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6023, 24, 32, 44, 59lelttrd 9220 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6160olcd 383 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
6261ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
63 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
q ^ k )  =  ( q ^
1 ) )
6463oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
x  /  ( q ^ k ) )  =  ( x  / 
( q ^ 1 ) ) )
6564breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <->  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6665orbi2d 683 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ k
) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )  <-> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
67662ralbidv 2739 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
68 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( x  /  ( q ^
1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) ) )
6968breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( (
x  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <->  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
7069orbi2d 683 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
71702ralbidv 2739 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7267, 71rspc2ev 3052 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
735, 15, 62, 72syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
743, 73pm2.61dan 767 1  |-  ( A  e.  AA  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   QQcq 10566   RR+crp 10604   ^cexp 11374   Imcim 11895   abscabs 12031   AAcaa 20223
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-0p 19554  df-limc 19745  df-dv 19746  df-dvn 19747  df-cpn 19748  df-ply 20099  df-idp 20100  df-coe 20101  df-dgr 20102  df-quot 20200  df-aa 20224
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