MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem4 Unicode version

Theorem aaliou3lem4 19742
Description: Lemma for aaliou3 19747. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem4  |-  L  e.  RR
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem4
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem.d . . 3  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
2 nnuz 10279 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
32sumeq1i 12187 . . 3  |-  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( F `
 b )
41, 3eqtri 2316 . 2  |-  L  = 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )
5 1nn 9773 . . 3  |-  1  e.  NN
6 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  1
)  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 1 ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  1 ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  1 )  |->  ( ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  1 ) ) ) )
7 aaliou3lem.c . . . . 5  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
86, 7aaliou3lem3 19740 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) ) ) ) )
98simp2d 968 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  e.  RR+ )
10 rpre 10376 . . 3  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( F `
 b )  e.  RR+  ->  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )  e.  RR )
115, 9, 10mp2b 9 . 2  |-  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  e.  RR
124, 11eqeltri 2366 1  |-  L  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062   ^cexp 11120   !cfa 11304    ~~> cli 11974   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  19745  aaliou3lem9  19746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175
  Copyright terms: Public domain W3C validator