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Theorem aaliou3lem6 19744
Description: Lemma for aaliou3 19747. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  e.  ZZ )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
21sumeq1d 12190 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
3 aaliou3lem.e . . . 4  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
4 sumex 12176 . . . 4  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5618 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
65oveq1d 5889 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  =  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  x.  (
2 ^ ( ! `
 A ) ) ) )
7 fzfid 11051 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... A )  e. 
Fin )
8 2rp 10375 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
9 nnnn0 9988 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
10 faccl 11314 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ! `
 A )  e.  NN )
119, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
1211nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
13 rpexpcl 11138 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  A )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  RR+ )
148, 12, 13sylancr 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  RR+ )
1514rpcnd 10408 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  CC )
16 elfznn 10835 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  e.  NN )
17 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
1817negeqd 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1918oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
20 aaliou3lem.c . . . . . . . 8  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
21 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
2219, 20, 21fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
2316, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
2423adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^ -u ( ! `  b )
) )
2516adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN )
2625nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN0 )
27 faccl 11314 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
2928nnzd 10132 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
3029znegcld 10135 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
31 rpexpcl 11138 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
328, 30, 31sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  e.  RR+ )
3332rpcnd 10408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  e.  CC )
3424, 33eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  e.  CC )
357, 15, 34fsummulc1 12263 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  = 
sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( ( F `  b )  x.  (
2 ^ ( ! `
 A ) ) ) )
3624oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  b )
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) ) )
3712adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
38 rpcnne0 10387 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
398, 38ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
40 expaddz 11162 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( -u ( ! `  b )  e.  ZZ  /\  ( ! `
 A )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  b
)  +  ( ! `
 A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  b )
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) ) )
4139, 40mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( ! `  b )  e.  ZZ  /\  ( ! `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  =  ( ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) ) )
4230, 37, 41syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  =  ( ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) ) )
43 2z 10070 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
4430zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  -u ( ! `  b )  e.  CC )
4537zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  CC )
4644, 45addcomd 9030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  =  ( ( ! `  A )  +  -u ( ! `  b ) ) )
4728nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  CC )
4845, 47negsubd 9179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 A )  + 
-u ( ! `  b ) )  =  ( ( ! `  A )  -  ( ! `  b )
) )
4946, 48eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  =  ( ( ! `  A )  -  ( ! `  b )
) )
509adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  A  e.  NN0 )
51 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  <_  A )
5251adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  <_  A
)
53 facwordi 11318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  NN0  /\  b  <_  A )  ->  ( ! `  b )  <_  ( ! `  A
) )
5426, 50, 52, 53syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  <_  ( ! `  A )
)
5528nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  NN0 )
5650, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
5756nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  NN0 )
58 nn0sub 10030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  b
)  e.  NN0  /\  ( ! `  A )  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  b )  <_  ( ! `  A )  <->  ( ( ! `  A
)  -  ( ! `
 b ) )  e.  NN0 ) )
5955, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 b )  <_ 
( ! `  A
)  <->  ( ( ! `
 A )  -  ( ! `  b ) )  e.  NN0 )
)
6054, 59mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 A )  -  ( ! `  b ) )  e.  NN0 )
6149, 60eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  e. 
NN0 )
62 zexpcl 11134 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `  b
)  +  ( ! `
 A ) ) )  e.  ZZ )
6343, 61, 62sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
6442, 63eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
6536, 64eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  e.  ZZ )
667, 65fsumzcl 12224 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  e.  ZZ )
6735, 66eqeltrd 2370 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
686, 67eqeltrd 2370 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ...cfz 10798   ^cexp 11120   !cfa 11304   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  19746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
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