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Theorem aaliou3lem8 19741
Description: Lemma for aaliou3 19747. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem aaliou3lem8
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2rp 10375 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
2 rpdivcl 10392 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
2  /  B )  e.  RR+ )
31, 2mpan 651 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( 2  /  B )  e.  RR+ )
43rpred 10406 . . . 4  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( 2  /  B )  e.  RR )
5 2re 9831 . . . . 5  |-  2  e.  RR
6 1lt2 9902 . . . . 5  |-  1  <  2
7 expnbnd 11246 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  /  B
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a ) )
85, 6, 7mp3an23 1269 . . . 4  |-  ( ( 2  /  B )  e.  RR  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a ) )
94, 8syl 15 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a ) )
109adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) )
11 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  NN )
12 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  NN )
13 nnaddm1cl 10089 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( a  +  A )  -  1 )  e.  NN )
1411, 12, 13syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
a  +  A )  -  1 )  e.  NN )
15 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
16 rerpdivcl 10397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  B
)  e.  RR )
175, 15, 16sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  e.  RR )
1811nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  NN0 )
19 reexpcl 11136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  a  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ a
)  e.  RR )
205, 18, 19sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ a )  e.  RR )
2111, 12nnaddcld 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( a  +  A )  e.  NN )
22 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  +  A )  e.  NN  ->  (
( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0 )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
a  +  A )  -  1 )  e. 
NN0 )
24 peano2nn0 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
26 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  e.  NN )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  e.  NN )
2827nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
29 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  e.  NN )
3023, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  NN )
3130nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  ZZ )
3212nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
3331, 32zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  x.  A )  e.  ZZ )
3428, 33zsubcld 10138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  ZZ )
35 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR+ )
361, 34, 35sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  e.  RR+ )
3736rpred 10406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  e.  RR )
38 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  < 
( 2 ^ a
) )
3917, 20, 38ltled 8983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  <_ 
( 2 ^ a
) )
405a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  e.  RR )
41 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
4241, 5, 6ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <_  2
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  1  <_  2 )
4411nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  RR )
4530nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  RR )
4618nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  0  <_  a )
4730nnge1d 9804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  1  <_  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) )
4844, 45, 46, 47lemulge12d 9711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  <_  ( ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  a ) )
49 facp1 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )
5023, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )
5150oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  -  (
( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  A ) ) )
5230nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  CC )
5325nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  e.  CC )
5412nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  CC )
5552, 53, 54subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  -  (
( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  A ) ) )
5651, 55eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  (
( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 )  -  A ) ) )
5721nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( a  +  A )  e.  CC )
58 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  1  e.  CC )
6057, 59npcand 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  =  ( a  +  A
) )
6160oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 )  -  A )  =  ( ( a  +  A )  -  A
) )
6211nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  CC )
6362, 54pncand 9174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
a  +  A )  -  A )  =  a )
6461, 63eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 )  -  A )  =  a )
6564oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  a
) )
6656, 65eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  a
) )
6748, 66breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  <_  ( ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) )
6811nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
69 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  -  (
( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ! `  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  ( ZZ>= `  a )  <->  a  <_  ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) ) )
7068, 34, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  ( ZZ>= `  a
)  <->  a  <_  (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
7167, 70mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  ( ZZ>= `  a )
)
7240, 43, 71leexp2ad 11293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ a )  <_ 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
7317, 20, 37, 39, 72letrd 8989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  <_ 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
74 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
751, 74mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
76 expsub 11165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  ( 2 ^ ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) ) )
7775, 28, 33, 76syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  (
2 ^ ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
78 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
7978a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  e.  CC )
8012nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  NN0 )
8130nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  NN0 )
8279, 80, 81expmuld 11264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) )
8382oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  ( 2 ^ ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )
84 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
851, 28, 84sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
8685rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
87 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
881, 31, 87sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
8988, 32rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A )  e.  RR+ )
9089rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A )  e.  CC )
9189rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A )  =/=  0 )
9286, 90, 91divrecd 9555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
9377, 83, 923eqtrrd 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )  =  ( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
9473, 93breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  <_ 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
9589rpreccld 10416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  e.  RR+ )
9685, 95rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )  e.  RR+ )
9796rpred 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )  e.  RR )
9840, 97, 15ledivmuld 10455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2  /  B )  <_  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  <->  2  <_  ( B  x.  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) ) )
9994, 98mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  <_  ( B  x.  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) )
10015rpcnd 10408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  B  e.  CC )
10195rpcnd 10408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  e.  CC )
102100, 86, 101mul12d 9037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  x.  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( B  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) )
10399, 102breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  <_  ( ( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( B  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) )
10415, 95rpmulcld 10422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  e.  RR+ )
105104rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  e.  RR )
10640, 105, 85ledivmuld 10455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2  /  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  <->  2  <_  ( ( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( B  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) ) )
107103, 106mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( B  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
10827nnnn0d 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  e.  NN0 )
109 expneg 11127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ! `  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
11078, 108, 109sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
111110oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
11285rpne0d 10411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  =/=  0 )
11379, 86, 112divrecd 9555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
114111, 113eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
115100, 90, 91divrecd 9555 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  =  ( B  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
116107, 114, 1153brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )
117 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )
118117fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )
119118negeqd 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  -u ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  -u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )
120119oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) )  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
121120oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( x  + 
1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) ) )
122 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) )
123122oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
2 ^ ( ! `
 x ) )  =  ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) )
124123oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
( 2 ^ ( ! `  x )
) ^ A )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )
125124oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) )  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )
126121, 125breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) )  <->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) )
127126rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  +  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
12814, 116, 127syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
129128exp32 588 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( a  e.  NN  ->  ( ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) ) ) )
130129rexlimdv 2679 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) ) )
13110, 130mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ^cexp 11120   !cfa 11304
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  19746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305
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