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Theorem aaliou3lem9 20269
Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem9  |-  -.  L  e.  AA
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c, a, b
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)

Proof of Theorem aaliou3lem9
Dummy variables  d 
e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem8 20264 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. e  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) )
2 aaliou3lem.c . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
3 aaliou3lem.d . . . . . . . . 9  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
4 aaliou3lem.e . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
52, 3, 4aaliou3lem6 20267 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  NN  ->  (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  ZZ )
65ad2antrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  ZZ )
7 2nn 10135 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
8 nnnn0 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  NN  ->  e  e.  NN0 )
98ad2antrl 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  e  e.  NN0 )
10 faccl 11578 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  NN0  ->  ( ! `
 e )  e.  NN )
11 nnnn0 10230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  e )  e.  NN  ->  ( ! `  e )  e.  NN0 )
129, 10, 113syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( ! `  e )  e.  NN0 )
13 nnexpcl 11396 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( ! `  e )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( ! `  e )
)  e.  NN )
147, 12, 13sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  e.  NN )
152, 3, 4aaliou3lem5 20266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  NN  ->  ( H `  e )  e.  RR )
1615ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( H `  e )  e.  RR )
1716recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( H `  e )  e.  CC )
1814nncnd 10018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  e.  CC )
1914nnne0d 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  =/=  0 )
2017, 18, 19divcan4d 9798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  =  ( H `  e ) )
212, 3, 4aaliou3lem7 20268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  NN  ->  (
( H `  e
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) ) ) )
2221simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  NN  ->  ( H `  e )  =/=  L )
2322ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( H `  e )  =/=  L )
2420, 23eqnetrd 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  =/=  L )
2524necomd 2689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  L  =/=  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) )
2625neneqd 2619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  -.  L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )
272, 3, 4aaliou3lem4 20265 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  e.  RR
2814nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  e.  RR )
2916, 28remulcld 9118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  RR )
3029, 14nndivred 10050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  RR )
31 resubcl 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  RR  /\  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  e.  RR )  ->  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) )  e.  RR )
3227, 30, 31sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )  e.  RR )
3332recnd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )  e.  CC )
3433abscld 12240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  e.  RR )
35 2rp 10619 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
36 peano2nn0 10262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  NN0  ->  ( e  +  1 )  e. 
NN0 )
37 faccl 11578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( e  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( e  +  1 ) )  e.  NN )
389, 36, 373syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  NN )
39 nnz 10305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )
40 znegcl 10315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  -u ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )
4138, 39, 403syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  -u ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )
42 rpexpcl 11402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
4335, 41, 42sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
44 rpmulcl 10635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
4535, 43, 44sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
4645rpred 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
47 simplr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  b  e.  RR+ )
48 nnnn0 10230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN0 )
4948ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  a  e.  NN0 )
5014, 49nnexpcld 11546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a )  e.  NN )
5150nnrpd 10649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a )  e.  RR+ )
5247, 51rpdivcld 10667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  e.  RR+ )
5352rpred 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  e.  RR )
5420oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )  =  ( L  -  ( H `  e ) ) )
5554fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) ) )
5621simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  NN  ->  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) ) )
5756ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) ) )
5855, 57eqbrtrd 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) ) )
59 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) )  <_  ( b  /  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) ) )
6034, 46, 53, 58, 59letrd 9229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  <_ 
( b  /  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a ) ) )
6134, 53lenltd 9221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) )  <_  ( b  /  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) )  <->  -.  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )
6260, 61mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  -.  ( b  /  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ) ) ) )
63 oveq1 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  (
f  /  d )  =  ( ( ( H `  e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) )  / 
d ) )
6463eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( L  =  ( f  /  d )  <->  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
) ) )
6564notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( -.  L  =  (
f  /  d )  <->  -.  L  =  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) )
6663oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( L  -  ( f  /  d ) )  =  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
) ) )
6766fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d
) ) )  =  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) )
6867breq2d 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  (
( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) )  <->  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) ) )
6968notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) )  <->  -.  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) ) )
7065, 69anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  (
( -.  L  =  ( f  /  d
)  /\  -.  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  ( -.  L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d )  /\  -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) ) ) ) )
71 oveq2 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d )  =  ( ( ( H `  e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) )  / 
( 2 ^ ( ! `  e )
) ) )
7271eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d )  <->  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )
7372notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( -.  L  =  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d )  <->  -.  L  =  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ) ) )
74 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
d ^ a )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) )
7574oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
b  /  ( d ^ a ) )  =  ( b  / 
( ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ^ a
) ) )
7671oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) )  =  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )
7776fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
) ) )  =  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) )
7875, 77breq12d 4227 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) )  <->  ( b  /  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )
7978notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) )  <->  -.  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )
8073, 79anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
( -.  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
)  /\  -.  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) )  <->  ( -.  L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) )  /\  -.  ( b  /  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ) ) ) ) ) )
8170, 80rspc2ev 3062 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ ( ! `  e )
)  e.  NN  /\  ( -.  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /\  -.  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
826, 14, 26, 62, 81syl112anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  ( f  / 
d )  /\  -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
831, 82rexlimddv 2836 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
84 pm4.56 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  L  =  ( f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  -.  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
8584rexbii 2732 . . . . . . . 8  |-  ( E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN  -.  ( L  =  ( f  / 
d )  \/  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
86 rexnal 2718 . . . . . . . 8  |-  ( E. d  e.  NN  -.  ( L  =  (
f  /  d )  \/  ( b  / 
( d ^ a
) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d
) ) ) )  <->  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  (
f  /  d )  \/  ( b  / 
( d ^ a
) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d
) ) ) ) )
8785, 86bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
8887rexbii 2732 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  E. f  e.  ZZ  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
89 rexnal 2718 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ZZ  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
9088, 89bitri 242 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
9183, 90sylib 190 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  ->  -.  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
9291nrexdv 2811 . . 3  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
9392nrex 2810 . 2  |-  -.  E. a  e.  NN  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )
94 aaliou2b 20260 . 2  |-  ( L  e.  AA  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
9593, 94mto 170 1  |-  -.  L  e.  AA
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   RR+crp 10614   ...cfz 11045   ^cexp 11384   !cfa 11568   abscabs 12041   sum_csu 12481   AAcaa 20233
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-0p 19564  df-limc 19755  df-dv 19756  df-dvn 19757  df-cpn 19758  df-ply 20109  df-idp 20110  df-coe 20111  df-dgr 20112  df-quot 20210  df-aa 20234
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