Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem1 Unicode version

Theorem aalioulem1 19714
 Description: Lemma for aaliou 19720. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem1.a Poly
aalioulem1.b
aalioulem1.c
Assertion
Ref Expression
aalioulem1 deg

Proof of Theorem aalioulem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem1.a . . . . 5 Poly
2 aalioulem1.b . . . . . . 7
32zcnd 10120 . . . . . 6
4 aalioulem1.c . . . . . . 7
54nncnd 9764 . . . . . 6
64nnne0d 9792 . . . . . 6
73, 5, 6divcld 9538 . . . . 5
8 eqid 2285 . . . . . 6 coeff coeff
9 eqid 2285 . . . . . 6 deg deg
108, 9coeid2 19623 . . . . 5 Poly degcoeff
111, 7, 10syl2anc 642 . . . 4 degcoeff
1211oveq1d 5875 . . 3 deg degcoeff deg
13 fzfid 11037 . . . 4 deg
14 dgrcl 19617 . . . . . 6 Poly deg
151, 14syl 15 . . . . 5 deg
165, 15expcld 11247 . . . 4 deg
17 0z 10037 . . . . . . . 8
188coef2 19615 . . . . . . . 8 Poly coeff
191, 17, 18sylancl 643 . . . . . . 7 coeff
20 elfznn0 10824 . . . . . . 7 deg
21 ffvelrn 5665 . . . . . . 7 coeff coeff
2219, 20, 21syl2an 463 . . . . . 6 deg coeff
2322zcnd 10120 . . . . 5 deg coeff
24 expcl 11123 . . . . . 6
257, 20, 24syl2an 463 . . . . 5 deg
2623, 25mulcld 8857 . . . 4 deg coeff
2713, 16, 26fsummulc1 12249 . . 3 degcoeff deg degcoeff deg
2812, 27eqtrd 2317 . 2 deg degcoeff deg
295adantr 451 . . . . . 6 deg
3015adantr 451 . . . . . 6 deg deg
3129, 30expcld 11247 . . . . 5 deg deg
3223, 25, 31mulassd 8860 . . . 4 deg coeff deg coeff deg
332adantr 451 . . . . . . . . . 10 deg
3433zcnd 10120 . . . . . . . . 9 deg
356adantr 451 . . . . . . . . 9 deg
3620adantl 452 . . . . . . . . 9 deg
3734, 29, 35, 36expdivd 11261 . . . . . . . 8 deg
3837oveq1d 5875 . . . . . . 7 deg deg deg
3934, 36expcld 11247 . . . . . . . 8 deg
40 nnexpcl 11118 . . . . . . . . . 10
414, 20, 40syl2an 463 . . . . . . . . 9 deg
4241nncnd 9764 . . . . . . . 8 deg
4341nnne0d 9792 . . . . . . . 8 deg
4439, 42, 31, 43div13d 9562 . . . . . . 7 deg deg deg
4538, 44eqtrd 2317 . . . . . 6 deg deg deg
46 elfzelz 10800 . . . . . . . . . 10 deg
4746adantl 452 . . . . . . . . 9 deg
4830nn0zd 10117 . . . . . . . . 9 deg deg
4929, 35, 47, 48expsubd 11258 . . . . . . . 8 deg deg deg
504adantr 451 . . . . . . . . . 10 deg
5150nnzd 10118 . . . . . . . . 9 deg
52 fznn0sub 10826 . . . . . . . . . 10 deg deg
5352adantl 452 . . . . . . . . 9 deg deg
54 zexpcl 11120 . . . . . . . . 9 deg deg
5551, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . 8 deg deg
5649, 55eqeltrrd 2360 . . . . . . 7 deg deg
57 zexpcl 11120 . . . . . . . 8
582, 20, 57syl2an 463 . . . . . . 7 deg
5956, 58zmulcld 10125 . . . . . 6 deg deg
6045, 59eqeltrd 2359 . . . . 5 deg deg
6122, 60zmulcld 10125 . . . 4 deg coeff deg
6232, 61eqeltrd 2359 . . 3 deg coeff deg
6313, 62fsumzcl 12210 . 2 degcoeff deg
6428, 63eqeltrd 2359 1 deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1625   wcel 1686   wne 2448  wf 5253  cfv 5257  (class class class)co 5860  cc 8737  cc0 8739   cmul 8744   cmin 9039   cdiv 9425  cn 9748  cn0 9967  cz 10026  cfz 10784  cexp 11106  csu 12160  Polycply 19568  coeffccoe 19570  degcdgr 19571 This theorem is referenced by:  aalioulem4  19717 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-0p 19027  df-ply 19572  df-coe 19574  df-dgr 19575
 Copyright terms: Public domain W3C validator