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Theorem aalioulem3 20120
Description: Lemma for aaliou 20124. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, r   
x, A, r    x, F, r
Allowed substitution hints:    N( x, r)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 1re 9025 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 resubcl 9299 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
41, 2, 3sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
5 peano2re 9173 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
7 reex 9016 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
87prid1 3857 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
9 ssid 3312 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
10 fncpn 19688 . . . . . . . . 9  |-  ( CC  C_  CC  ->  ( C ^n `  CC )  Fn 
NN0 )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( C ^n `  CC )  Fn  NN0
12 1nn0 10171 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
13 fnfvelrn 5808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C ^n `  CC )  Fn  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( ( C ^n
`  CC ) ` 
1 )  e.  ran  ( C ^n `  CC ) )
1411, 12, 13mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( C ^n `  CC ) `  1 )  e.  ran  ( C ^n
`  CC )
15 intss1 4009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C ^n `  CC ) `  1 )  e.  ran  ( C ^n `  CC )  ->  |^| ran  ( C ^n `  CC ) 
C_  ( ( C ^n `  CC ) `
 1 ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  |^| ran  ( C ^n `  CC )  C_  ( ( C ^n `  CC ) `  1 )
17 aalioulem2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
18 plycpn 20075 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F  e.  |^| ran  ( C ^n `  CC ) )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  |^| ran  ( C ^n `  CC ) )
2016, 19sseldi 3291 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C ^n `  CC ) `  1 )
)
21 cpnres 19692 . . . . 5  |-  ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) ` 
1 ) )  -> 
( F  |`  RR )  e.  ( ( C ^n `  RR ) `
 1 ) )
228, 20, 21sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR )  e.  ( ( C ^n `  RR ) `
 1 ) )
23 df-ima 4833 . . . . 5  |-  ( F
" RR )  =  ran  ( F  |`  RR )
24 zssre 10223 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
25 ax-resscn 8982 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
26 plyss 19987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR ) )
2724, 25, 26mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR )
2827, 17sseldi 3291 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  RR ) )
29 plyreres 20069 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  RR )  ->  ( F  |`  RR ) : RR --> RR )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR ) : RR --> RR )
31 frn 5539 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  RR ) : RR --> RR  ->  ran  ( F  |`  RR ) 
C_  RR )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  RR )  C_  RR )
3323, 32syl5eqss 3337 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F " RR )  C_  RR )
34 iccssre 10926 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  RR )
354, 6, 34syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  RR )
3635, 25syl6ss 3305 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  CC )
37 plyf 19986 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
3817, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
39 fdm 5537 . . . . . 6  |-  ( F : CC --> CC  ->  dom 
F  =  CC )
4038, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  F  =  CC )
4136, 40sseqtr4d 3330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  dom  F )
424, 6, 22, 33, 41c1lip3 19752 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) ) )
43 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  RR )
4443recnd 9049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  CC )
451adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
46453ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  RR )
4746recnd 9049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  CC )
4844, 47abssubd 12184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( r  -  A
) )  =  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
49 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)
5048, 49eqbrtrd 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( r  -  A
) )  <_  1
)
512a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  1  e.  RR )
52 elicc4abs 12052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
r  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  <->  ( abs `  ( r  -  A
) )  <_  1
) )
5346, 51, 43, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( r  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  <->  ( abs `  (
r  -  A ) )  <_  1 ) )
5450, 53mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
551recnd 9049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5655subidd 9333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  A
)  =  0 )
5756fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  A )
)  =  ( abs `  0 ) )
58 abs0 12019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  0 )  =  0
59 0le1 9485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
6058, 59eqbrtri 4174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  0 )  <_ 
1
6157, 60syl6eqbr 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  A )
)  <_  1 )
622a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
63 elicc4abs 12052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  <->  ( abs `  ( A  -  A
) )  <_  1
) )
641, 62, 1, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) )  <-> 
( abs `  ( A  -  A )
)  <_  1 ) )
6561, 64mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  A  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
67663ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
68 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  ( F `  b )  =  ( F `  r ) )
6968oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 c )  -  ( F `  r ) ) )
7069fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( ( F `
 c )  -  ( F `  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  r ) ) ) )
71 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  (
c  -  b )  =  ( c  -  r ) )
7271fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( c  -  b ) )  =  ( abs `  (
c  -  r ) ) )
7372oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  r  ->  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  b
) ) )  =  ( a  x.  ( abs `  ( c  -  r ) ) ) )
7470, 73breq12d 4168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  r  ->  (
( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  r )
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  r
) ) ) ) )
75 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  A  ->  ( F `  c )  =  ( F `  A ) )
7675oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  A  ->  (
( F `  c
)  -  ( F `
 r ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )
7776fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  A  ->  ( abs `  ( ( F `
 c )  -  ( F `  r ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r ) ) ) )
78 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  A  ->  (
c  -  r )  =  ( A  -  r ) )
7978fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  A  ->  ( abs `  ( c  -  r ) )  =  ( abs `  ( A  -  r )
) )
8079oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  A  ->  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  r
) ) )  =  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
8177, 80breq12d 4168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  A  ->  (
( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 r ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  r ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
8274, 81rspc2v 3003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  /\  A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
8354, 67, 82syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
84 simp1l 981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ph )
85 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  A )  =  0 )
87 0cn 9019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
8886, 87syl6eqel 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  A )  e.  CC )
8938adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  F : CC
--> CC )
90893ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  F : CC
--> CC )
9190, 44ffvelrnd 5812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  r )  e.  CC )
9288, 91abssubd 12184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) ) ) )
9386oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) )  =  ( ( F `  r )  -  0 ) )
9491subid1d 9334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  0 )  =  ( F `  r
) )
9593, 94eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) )  =  ( F `  r
) )
9695fveq2d 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  r )  -  ( F `  A )
) )  =  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
9792, 96eqtrd 2421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  =  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
9897breq1d 4165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
9983, 98sylibd 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r ) )  <_ 
( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
100993exp 1152 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( r  e.  RR  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r ) )  <_ 
( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) ) ) )
101100com34 79 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( r  e.  RR  ->  ( A. b  e.  (
( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) ) )
102101com23 74 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  (
r  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) ) )
103102ralrimdv 2740 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
104103reximdva 2763 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
10542, 104mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
106 1rp 10550 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
107106a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  a  =  0 )  -> 
1  e.  RR+ )
108 recn 9015 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
109108adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  CC )
110 df-ne 2554 . . . . . . . 8  |-  ( a  =/=  0  <->  -.  a  =  0 )
111110biimpri 198 . . . . . . 7  |-  ( -.  a  =  0  -> 
a  =/=  0 )
112 absrpcl 12022 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a  =/=  0 )  -> 
( abs `  a
)  e.  RR+ )
113109, 111, 112syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( abs `  a
)  e.  RR+ )
114113rpreccld 10592 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( 1  / 
( abs `  a
) )  e.  RR+ )
115107, 114ifclda 3711 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  e.  RR+ )
116 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )
117 eqif 3717 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  <->  ( (
a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) ) )
118116, 117mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) )
119 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
120 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  0  ->  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  =  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
121120adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
1221ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  A  e.  RR )
123 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  r  e.  RR )
124122, 123resubcld 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR )
125124recnd 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
126125abscld 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r )
)  e.  RR )
127126recnd 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r )
)  e.  CC )
128127adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  e.  CC )
129128mul02d 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  0 )
130121, 129eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  0 )
131119, 130breqtrd 4179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  0
)
13238ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  F : CC --> CC )
133123recnd 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  r  e.  CC )
134132, 133ffvelrnd 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( F `  r )  e.  CC )
135134adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( F `  r )  e.  CC )
136135absge0d 12175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
137134abscld 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  e.  RR )
138137adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  RR )
139 0re 9026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
140 letri3 9095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  r )
)  =  0  <->  (
( abs `  ( F `  r )
)  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  r )
) ) ) )
141138, 139, 140sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( F `  r
) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  r
) ) ) ) )
142131, 136, 141mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  =  0 )
143142oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( 1  x.  0 ) )
144 ax-1cn 8983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
145144mul01i 9190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
146143, 145syl6eq 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  0 )
147125adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
148147absge0d 12175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
149146, 148eqbrtrd 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
150 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) ) )
151150breq1d 4165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  (
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
152149, 151syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
153152expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  -> 
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
154137adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  RR )
155154recnd 9049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  CC )
156 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  a  e.  RR )
157156recnd 9049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  a  e.  CC )
158157, 112sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  a )  e.  RR+ )
159158rpcnne0d 10591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  a )  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0
) )
160 divrec2 9629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0 )  ->  (
( abs `  ( F `  r )
)  /  ( abs `  a ) )  =  ( ( 1  / 
( abs `  a
) )  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) ) )
1611603expb 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  CC  /\  ( ( abs `  a
)  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  r
) )  /  ( abs `  a ) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a
) )  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) ) )
162155, 159, 161syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  / 
( abs `  a
) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
163 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  e.  RR )
164163, 126remulcld 9051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  e.  RR )
165163recnd 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  e.  CC )
166165abscld 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  a
)  e.  RR )
167166, 126remulcld 9051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) )  e.  RR )
168 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
169125absge0d 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
170 leabs 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  RR  ->  a  <_  ( abs `  a
) )
171170ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  <_  ( abs `  a ) )
172163, 166, 126, 169, 171lemul1ad 9884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <_  (
( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
173137, 164, 167, 168, 172letrd 9161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
174173adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
175126adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  e.  RR )
176154, 175, 158ledivmuld 10631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  r )
)  /  ( abs `  a ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
)  <->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
177174, 176mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  / 
( abs `  a
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
178162, 177eqbrtrrd 4177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
179110, 178sylan2br 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  -.  a  =  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
180 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
181180breq1d 4165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  (
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
182179, 181syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
183182expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  -> 
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
184153, 183jaod 370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
185118, 184mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
186185expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
187186imim2d 50 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
188187ralimdva 2729 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
189 oveq1 6029 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  =  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
190189breq1d 4165 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( ( x  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
191190imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  <_ 
1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
192191ralbidv 2671 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
193192rspcev 2997 . . . 4  |-  ( ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
194115, 188, 193ee12an 1369 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
195194rexlimdva 2775 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
196105, 195mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265   ifcif 3684   {cpr 3760   |^|cint 3994   class class class wbr 4155   dom cdm 4820   ran crn 4821    |` cres 4822   "cima 4823    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    <_ cle 9056    - cmin 9225    / cdiv 9611   NNcn 9934   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   RR+crp 10546   [,]cicc 10853   abscabs 11968   C ^nccpn 19621  Polycply 19972  degcdgr 19975
This theorem is referenced by:  aalioulem4  20121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-mulg 14744  df-subg 14870  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-cring 15593  df-ur 15594  df-subrg 15795  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-0p 19431  df-limc 19622  df-dv 19623  df-dvn 19624  df-cpn 19625  df-ply 19976  df-coe 19978  df-dgr 19979
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