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Theorem aalioulem4 20244
Description: Lemma for aaliou 20247. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q
Allowed substitution hints:    N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem4
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 aalioulem3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
61, 2, 3, 4, 5aalioulem3 20243 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) ) )
7 simp2l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  p  e.  ZZ )
8 simp2r 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  q  e.  NN )
9 znq 10570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
107, 8, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  QQ )
11 qre 10571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
13 simp3r 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)
14 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( A  -  a )  =  ( A  -  ( p  /  q
) ) )
1514fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( A  -  a ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
1615breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  <->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )
17 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( p  /  q
) ) )
1817fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( F `  a ) )  =  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )
1918oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q
) ) ) ) )
2019, 15breq12d 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( x  x.  ( abs `  ( F `  a ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  a )
)  <->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
2116, 20imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
2221rspcv 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
2322com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
2412, 13, 23sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
25 simp1r 982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  RR+ )
268nnrpd 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  q  e.  RR+ )
27 simp1l 981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ph )
2827, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  N  e.  NN )
2928nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
3026, 29rpexpcld 11538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
3125, 30rpdivcld 10657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
3231rpred 10640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3425rpred 10640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  RR )
3527, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
36 plyf 20109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  F : CC
--> CC )
3812recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  CC )
3937, 38ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( F `  ( p  /  q
) )  e.  CC )
4039abscld 12230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
4134, 40remulcld 9108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  RR )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  e.  RR )
4327, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  A  e.  RR )
4443, 12resubcld 9457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
4544recnd 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
4645abscld 12230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR )
4825rpcnd 10642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  CC )
4930rpcnd 10642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  CC )
5030rpne0d 10645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  =/=  0
)
5148, 49, 50divrecd 9785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  =  ( x  x.  (
1  /  ( q ^ N ) ) ) )
5249, 39absmuld 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
q ^ N ) )  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5330rpred 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR )
5430rpge0d 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( q ^ N ) )
5553, 54absidd 12217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( q ^ N
) )  =  ( q ^ N ) )
5655oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( q ^ N ) )  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5752, 56eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5849, 39mulcomd 9101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ N ) ) )
591oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q ^ N )  =  ( q ^ (deg `  F ) )
6059oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( p  /  q ) )  x.  ( q ^ N ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ (deg `  F ) ) )
6158, 60syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ (deg `  F ) ) ) )
6235, 7, 8aalioulem1 20241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  x.  ( q ^
(deg `  F )
) )  e.  ZZ )
6361, 62eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  e.  ZZ )
64 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0
)
6549, 39, 50, 64mulne0d 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =/=  0 )
66 nnabscl 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) )  =/=  0 )  ->  ( abs `  (
( q ^ N
)  x.  ( F `
 ( p  / 
q ) ) ) )  e.  NN )
6763, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  NN )
6857, 67eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  NN )
6968nnge1d 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  1  <_  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
70 1re 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
7271, 40, 30ledivmuld 10689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) )  <->  1  <_  (
( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
7369, 72mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )
7430rprecred 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
7574, 40, 25lemul2d 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) )  <->  ( x  x.  ( 1  /  (
q ^ N ) ) )  <_  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
7673, 75mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  x.  ( 1  /  (
q ^ N ) ) )  <_  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
7751, 76eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q
) ) ) ) )
7877adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) ) )
79 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
8033, 42, 47, 78, 79letrd 9219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
8180olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
8281ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
8324, 82syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
84833exp 1152 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8584com34 79 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8685com23 74 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8786ralrimdvv 2792 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
8887reximdva 2810 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
896, 88mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   ZZcz 10274   QQcq 10566   RR+crp 10604   ^cexp 11374   abscabs 12031  Polycply 20095  degcdgr 20098
This theorem is referenced by:  aalioulem5  20245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-0p 19554  df-limc 19745  df-dv 19746  df-dvn 19747  df-cpn 19748  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102
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