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Theorem aalioulem5 20122
Description: Lemma for aaliou 20124. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q    x, N
Allowed substitution hints:    N( q, p)

Proof of Theorem aalioulem5
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 aalioulem3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
61, 2, 3, 4, 5aalioulem4 20121 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR+ )
8 1rp 10550 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
9 ifcl 3720 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  e.  RR+ )
107, 8, 9sylancl 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  e.  RR+ )
1110adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  e.  RR+ )
12 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  q  e.  NN )
1312nnrpd 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  q  e.  RR+ )
143ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  NN )
1514nnzd 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  ZZ )
1613, 15rpexpcld 11475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
1711, 16rpdivcld 10599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
1817rpred 10582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
19 1re 9025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  e.  RR )
214ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  A  e.  RR )
22 znq 10512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
23 qre 10513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  RR )
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
2621, 25resubcld 9399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
2726recnd 9049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
2827abscld 12167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
2918, 20, 283jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR ) )
3116rprecred 10593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3211rpred 10582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  e.  RR )
33 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  a  e.  RR+ )
3433rpred 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  a  e.  RR )
35 min2 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
1 ,  a ,  1 )  <_  1
)
3634, 19, 35sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  <_  1 )
3732, 20, 16, 36lediv1dd 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( q ^ N
) ) )
3814nnnn0d 10208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  NN0 )
3912, 38nnexpcld 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  NN )
40 1nn 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  e.  NN )
4239, 41nnmulcld 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
q ^ N )  x.  1 )  e.  NN )
4342nnge1d 9976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  <_  ( ( q ^ N
)  x.  1 ) )
4420, 20, 16ledivmuld 10631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  1  <->  1  <_  ( ( q ^ N
)  x.  1 ) ) )
4543, 44mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  <_ 
1 )
4618, 31, 20, 37, 45letrd 9161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  1 )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  1 )
48 ltle 9098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
4919, 28, 48sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( 1  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  1  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) ) )
5049imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  1  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
5147, 50jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
52 letr 9102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
5330, 51, 52sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
5453olcd 383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
5554a1d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
5655a1d 23 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  1  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
57 pm3.21 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  <_  1  ->  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) ) )
5857adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  ->  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) ) )
5933, 16rpdivcld 10599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
6059rpred 10582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
6118, 60, 283jca 1134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
6261adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR ) )
63 min1 10710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
1 ,  a ,  1 )  <_  a
)
6434, 19, 63sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  if (
a  <_  1 , 
a ,  1 )  <_  a )
6532, 34, 16, 64lediv1dd 10636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) ) )
6665anim1i 552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  (
a  /  ( q ^ N ) )  /\  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
67 letr 9102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) )  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6862, 66, 67sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6968ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7069adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7170orim2d 814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7258, 71imim12d 70 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
7356, 72, 20, 28ltlecasei 9116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
7473anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  p  e.  ZZ )  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
7574ralimdva 2729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( A. q  e.  NN  ( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  A. q  e.  NN  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
7675ralimdva 2729 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
77 oveq1 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( x  /  (
q ^ N ) )  =  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) ) )
7877breq1d 4165 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <->  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7978orbi2d 683 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
8079imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  <->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
81802ralbidv 2693 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  -> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  ( if ( a  <_  1 ,  a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
8281rspcev 2997 . . . 4  |-  ( ( if ( a  <_ 
1 ,  a ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  1 , 
a ,  1 )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
8310, 76, 82ee12an 1369 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
8483rexlimdva 2775 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
856, 84mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   ifcif 3684   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225    / cdiv 9611   NNcn 9934   ZZcz 10216   QQcq 10508   RR+crp 10546   ^cexp 11311   abscabs 11968  Polycply 19972  degcdgr 19975
This theorem is referenced by:  aalioulem6  20123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-mulg 14744  df-subg 14870  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-cring 15593  df-ur 15594  df-subrg 15795  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-0p 19431  df-limc 19622  df-dv 19623  df-dvn 19624  df-cpn 19625  df-ply 19976  df-coe 19978  df-dgr 19979
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