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Theorem aalioulem6 19733
Description: Lemma for aaliou 19734. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q    x, N
Allowed substitution hints:    N( q, p)

Proof of Theorem aalioulem6
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . . 4  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
51, 2, 3, 4aalioulem2 19729 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6 aalioulem3.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
71, 2, 3, 4, 6aalioulem5 19732 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
8 reeanv 2720 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  <->  ( E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  E. b  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
95, 7, 8sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
10 r19.26-2 2689 . . . 4  |-  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  <-> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
11 ifcl 3614 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
1211adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
13 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( F `  (
p  /  q ) )  =  0 )
1411ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR+ )
15 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  RR+ )
1615ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  q  e.  RR+ )
173ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
1817nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  N  e.  ZZ )
1916, 18rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
2014, 19rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
2120rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
22 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  a  e.  RR+ )
2322, 19rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
2423rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
254ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  A  e.  RR )
26 znq 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
27 qre 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  RR )
2928adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
3025, 29resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
3130recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
3231abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
3321, 24, 323jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
3514rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR )
3622rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  a  e.  RR )
37 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  b  e.  RR+ )
3837rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  b  e.  RR )
39 min1 10533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  a
)
4036, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  a )
4135, 36, 19, 40lediv1dd 10460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) ) )
4241anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( a  /  (
q ^ N ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
43 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) )  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4434, 42, 43sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )
4544ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
4746orim2d 813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
4813, 47embantd 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
4948adantrd 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
50 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0 )
5137, 19rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
5251rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
5321, 52, 323jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
55 min2 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  b
)
5636, 38, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  b )
5735, 38, 19, 56lediv1dd 10460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( b  / 
( q ^ N
) ) )
5857anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( b  /  (
q ^ N ) )  /\  ( b  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
59 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( b  / 
( q ^ N
) )  /\  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6054, 58, 59sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )
6160ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6261adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
6362orim2d 813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( b  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6450, 63embantd 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6564adantld 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6649, 65pm2.61dane 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6766anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  p  e.  ZZ )  /\  q  e.  NN )  ->  (
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6867ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  A. q  e.  NN  ( A  =  (
p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6968ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
70 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( x  /  (
q ^ N ) )  =  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) ) )
7170breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7271orbi2d 682 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
73722ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7473rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  e.  RR+  /\ 
A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7512, 69, 74ee12an 1353 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7610, 75syl5bir 209 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  (
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7776rexlimdvva 2687 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
789, 77mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   QQcq 10332   RR+crp 10370   ^cexp 11120   abscabs 11735  Polycply 19582  degcdgr 19585
This theorem is referenced by:  aaliou  19734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233  df-dvn 19234  df-cpn 19235  df-ply 19586  df-idp 19587  df-coe 19588  df-dgr 19589  df-quot 19687
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