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Theorem aannenlem1 19724
 Description: Lemma for aannen 19727. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a Poly deg coeff
Assertion
Ref Expression
aannenlem1
Distinct variable group:   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)

Proof of Theorem aannenlem1
StepHypRef Expression
1 breq2 4043 . . . . . . 7 deg deg
2 breq2 4043 . . . . . . . 8 coeff coeff
32ralbidv 2576 . . . . . . 7 coeff coeff
41, 33anbi23d 1255 . . . . . 6 deg coeff deg coeff
54rabbidv 2793 . . . . 5 Poly deg coeff Poly deg coeff
65rexeqdv 2756 . . . 4 Poly deg coeff Poly deg coeff
76rabbidv 2793 . . 3 Poly deg coeff Poly deg coeff
8 aannenlem.a . . 3 Poly deg coeff
9 cnex 8834 . . . 4
109rabex 4181 . . 3 Poly deg coeff
117, 8, 10fvmpt 5618 . 2 Poly deg coeff
12 iunrab 3965 . . 3 Poly deg coeff Poly deg coeff
13 fzfi 11050 . . . . . . 7
14 fzfi 11050 . . . . . . 7
15 mapfi 7168 . . . . . . 7
1613, 14, 15mp2an 653 . . . . . 6
1716a1i 10 . . . . 5
18 ovex 5899 . . . . . 6
19 neeq1 2467 . . . . . . . . . . 11
20 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
2120breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11 deg deg
22 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff coeff
2322fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff coeff
2423fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
2524breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
2625ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
2719, 21, 263anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10 deg coeff deg coeff
2827elrab 2936 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff Poly deg coeff
29 simp3 957 . . . . . . . . . 10 deg coeff coeff
3029anim2i 552 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff Poly coeff
3128, 30sylbi 187 . . . . . . . 8 Poly deg coeff Poly coeff
32 0z 10051 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coeff coeff
3433coef2 19629 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly coeff
3532, 34mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly coeff
3635ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13 Poly coeff coeff
37 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Poly coeff coeff
3935adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly coeff
4039ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly coeff
4140zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly coeff
42 nn0re 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
4441, 43absled 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly coeff coeff coeff
45 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly
4746znegcld 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
48 elfz 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coeff coeff coeff coeff
4940, 47, 46, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly coeff coeff coeff
5044, 49bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly coeff coeff
5150biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly coeff coeff
5251ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly coeff coeff
5352impr 602 . . . . . . . . . . . . 13 Poly coeff coeff
54 fnfvrnss 5703 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff coeff
5538, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 Poly coeff coeff
56 df-f 5275 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff coeff
5738, 55, 56sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11 Poly coeff coeff
58 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . 12
5958ssriv 3197 . . . . . . . . . . 11
60 fssres 5424 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
6157, 59, 60sylancl 643 . . . . . . . . . 10 Poly coeff coeff
62 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11
63 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11
6462, 63elmap 6812 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
6561, 64sylibr 203 . . . . . . . . 9 Poly coeff coeff
6665ex 423 . . . . . . . 8 Poly coeff coeff
6731, 66syl5 28 . . . . . . 7 Poly deg coeff coeff
68 simp2 956 . . . . . . . . . 10 deg coeff deg
6968anim2i 552 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff Poly deg
7028, 69sylbi 187 . . . . . . . 8 Poly deg coeff Poly deg
71 neeq1 2467 . . . . . . . . . . 11
72 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
7372breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11 deg deg
74 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff coeff
7574fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff coeff
7675fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
7776breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
7877ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
7971, 73, 783anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10 deg coeff deg coeff
8079elrab 2936 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff Poly deg coeff
81 simp2 956 . . . . . . . . . 10 deg coeff deg
8281anim2i 552 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff Poly deg
8380, 82sylbi 187 . . . . . . . 8 Poly deg coeff Poly deg
84 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
85 plyf 19596 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
86 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg Poly deg coeff coeff
88 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
89 plyf 19596 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
90 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg Poly deg coeff coeff
92 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
9392adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
9493fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
95 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coeff coeff
9695adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
97 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coeff coeff
9897adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
9994, 96, 983eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
10099oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
101100sumeq2dv 12192 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
102 simp1ll 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
1031023expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
104 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
106 dgrcl 19631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg
107 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
108103, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
109 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg Poly deg coeff coeff
110109nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff
111 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg deg
112108, 110, 111syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff deg deg
113105, 112mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
114 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff
115 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
11633, 115coeid3 19638 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg coeff
117103, 113, 114, 116syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff
118 simp1rl 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
1191183expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
120 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
121120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
122 dgrcl 19631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg
123 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
124119, 122, 1233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
125 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg deg
126124, 110, 125syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff deg deg
127121, 126mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
128 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff coeff
129 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
130128, 129coeid3 19638 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg coeff
131119, 127, 114, 130syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff
132101, 117, 1313eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg Poly deg coeff coeff
13387, 91, 132eqfnfvd 5641 . . . . . . . . . . 11 Poly deg Poly deg coeff coeff
134133expr 598 . . . . . . . . . 10 Poly deg Poly deg coeff coeff
135 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
136135reseq1d 4970 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
137134, 136impbid1 194 . . . . . . . . 9 Poly deg Poly deg coeff coeff
138137expcom 424 . . . . . . . 8 Poly deg Poly deg coeff coeff
13970, 83, 138syl2ani 637 . . . . . . 7 Poly deg coeff Poly deg coeff coeff coeff
14067, 139dom2d 6918 . . . . . 6 Poly deg coeff
14118, 140mpi 16 . . . . 5 Poly deg coeff
142 domfi 7100 . . . . 5 Poly deg coeff Poly deg coeff
14317, 141, 142syl2anc 642 . . . 4 Poly deg coeff
144 neeq1 2467 . . . . . . . . 9
145 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10 deg deg
146145breq1d 4049 . . . . . . . . 9 deg deg
147 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
148147fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
149148fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
150149breq1d 4049 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
151150ralbidv 2576 . . . . . . . . 9 coeff coeff
152144, 146, 1513anbi123d 1252 . . . . . . . 8 deg coeff deg coeff
153152elrab 2936 . . . . . . 7 Poly deg coeff Poly deg coeff
154 simp1 955 . . . . . . . 8 deg coeff
155154anim2i 552 . . . . . . 7 Poly deg coeff Poly
156153, 155sylbi 187 . . . . . 6 Poly deg coeff Poly
157 plyf 19596 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
158 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13
159157, 158syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Poly
160159adantr 451 . . . . . . . . . . 11 Poly
161 fniniseg 5662 . . . . . . . . . . 11
162160, 161syl 15 . . . . . . . . . 10 Poly
163 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
164163eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11
165164elrab 2936 . . . . . . . . . 10
166162, 165syl6rbbr 255 . . . . . . . . 9 Poly
167166eqrdv 2294 . . . . . . . 8 Poly
168 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
169168fta1 19704 . . . . . . . . 9 Poly deg
170169simpld 445 . . . . . . . 8 Poly
171167, 170eqeltrd 2370 . . . . . . 7 Poly
172171a1i 10 . . . . . 6 Poly
173156, 172syl5 28 . . . . 5 Poly deg coeff
174173ralrimiv 2638 . . . 4 Poly deg coeff
175 iunfi 7160 . . . 4 Poly deg coeff Poly deg coeff Poly deg coeff
176143, 174, 175syl2anc 642 . . 3 Poly deg coeff
17712, 176syl5eqelr 2381 . 2 Poly deg coeff
17811, 177eqeltrd 2370 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801   wss 3165  csn 3653  ciun 3921   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   crn 4706   cres 4707  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmap 6788   cdom 6877  cfn 6879  cc 8751  cr 8752  cc0 8753   cmul 8758   cle 8884  cneg 9054  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798  cexp 11120  chash 11353  cabs 11735  csu 12174  c0p 19040  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585 This theorem is referenced by:  aannenlem3  19726 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-idp 19587  df-coe 19588  df-dgr 19589  df-quot 19687
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