MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Unicode version

Theorem aannenlem3 20247
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a  |-  H  =  ( a  e.  NN0  |->  { b  e.  CC  |  E. c  e.  {
d  e.  (Poly `  ZZ )  |  (
d  =/=  0 p  /\  (deg `  d
)  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 } )
Assertion
Ref Expression
aannenlem3  |-  AA  ~~  NN
Distinct variable group:    a, b, c, d, e
Allowed substitution hints:    H( e, a, b, c, d)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnso 12846 . . . 4  |-  E. f 
f  Or  CC
2 aannenlem.a . . . . . . 7  |-  H  =  ( a  e.  NN0  |->  { b  e.  CC  |  E. c  e.  {
d  e.  (Poly `  ZZ )  |  (
d  =/=  0 p  /\  (deg `  d
)  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 } )
32aannenlem2 20246 . . . . . 6  |-  AA  =  U. ran  H
4 omelon 7601 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
5 nn0ennn 11318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  ~~  NN
6 nnenom 11319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
75, 6entri 7161 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  ~~  om
87ensymi 7157 . . . . . . . . . . 11  |-  om  ~~  NN0
9 isnumi 7833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN0 )  ->  NN0  e.  dom  card )
104, 8, 9mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  dom  card
11 cnex 9071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
1211rabex 4354 . . . . . . . . . . . 12  |-  { b  e.  CC  |  E. c  e.  { d  e.  (Poly `  ZZ )  |  ( d  =/=  0 p  /\  (deg `  d )  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 }  e.  _V
1312, 2fnmpti 5573 . . . . . . . . . . 11  |-  H  Fn  NN0
14 dffn4 5659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  Fn  NN0  <->  H : NN0 -onto-> ran  H )
1513, 14mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  H : NN0 -onto-> ran  H
16 fodomnum 7938 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
e.  dom  card  ->  ( H : NN0 -onto-> ran  H  ->  ran  H  ~<_  NN0 )
)
1710, 15, 16mp2 9 . . . . . . . . 9  |-  ran  H  ~<_  NN0
18 domentr 7166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  H  ~<_  NN0  /\  NN0  ~~  om )  ->  ran  H  ~<_  om )
1917, 7, 18mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ran  H  ~<_  om
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  ran  H  ~<_  om )
21 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  Fn  NN0  ->  ( f  e.  ran  H  <->  E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f ) )
2213, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ran  H  <->  E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f )
232aannenlem1 20245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  NN0  ->  ( H `
 g )  e. 
Fin )
24 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  g )  =  f  ->  (
( H `  g
)  e.  Fin  <->  f  e.  Fin ) )
2523, 24syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  NN0  ->  ( ( H `  g )  =  f  ->  f  e.  Fin ) )
2625rexlimiv 2824 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f  ->  f  e. 
Fin )
2722, 26sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ran  H  -> 
f  e.  Fin )
2827ssriv 3352 . . . . . . . 8  |-  ran  H  C_ 
Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  ran  H 
C_  Fin )
30 aasscn 20235 . . . . . . . . 9  |-  AA  C_  CC
313, 30eqsstr3i 3379 . . . . . . . 8  |-  U. ran  H 
C_  CC
32 soss 4521 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  H  C_  CC  ->  ( f  Or  CC  ->  f  Or  U. ran  H
) )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  f  Or  U. ran  H )
34 iunfictbso 7995 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  H  ~<_  om  /\  ran  H  C_  Fin  /\  f  Or  U. ran  H )  ->  U. ran  H  ~<_  om )
3520, 29, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( f  Or  CC  ->  U. ran  H  ~<_  om )
363, 35syl5eqbr 4245 . . . . 5  |-  ( f  Or  CC  ->  AA  ~<_  om )
3736exlimiv 1644 . . . 4  |-  ( E. f  f  Or  CC  ->  AA  ~<_  om )
381, 37ax-mp 8 . . 3  |-  AA  ~<_  om
396ensymi 7157 . . 3  |-  om  ~~  NN
40 domentr 7166 . . 3  |-  ( ( AA  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  AA  ~<_  NN )
4138, 39, 40mp2an 654 . 2  |-  AA  ~<_  NN
4211, 30ssexi 4348 . . 3  |-  AA  e.  _V
43 nnssq 10583 . . . 4  |-  NN  C_  QQ
44 qssaa 20241 . . . 4  |-  QQ  C_  AA
4543, 44sstri 3357 . . 3  |-  NN  C_  AA
46 ssdomg 7153 . . 3  |-  ( AA  e.  _V  ->  ( NN  C_  AA  ->  NN  ~<_  AA ) )
4742, 45, 46mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  AA
48 sbth 7227 . 2  |-  ( ( AA  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  AA )  ->  AA  ~~  NN )
4941, 47, 48mp2an 654 1  |-  AA  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    Or wor 4502   Oncon0 4581   omcom 4845   dom cdm 4878   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107   Fincfn 7109   cardccrd 7822   CCcc 8988   0cc0 8990    <_ cle 9121   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   QQcq 10574   abscabs 12039   0 pc0p 19561  Polycply 20103  coeffccoe 20105  degcdgr 20106   AAcaa 20231
This theorem is referenced by:  aannen  20248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-0p 19562  df-ply 20107  df-idp 20108  df-coe 20109  df-dgr 20110  df-quot 20208  df-aa 20232
  Copyright terms: Public domain W3C validator