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Theorem aareccl 20235
 Description: The reciprocal of an algebraic number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
aareccl

Proof of Theorem aareccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elaa 20225 . . . 4 Poly
21simprbi 451 . . 3 Poly
4 aacn 20226 . . . . 5
5 reccl 9677 . . . . 5
64, 5sylan 458 . . . 4
76adantr 452 . . 3 Poly
8 zsscn 10282 . . . . . . 7
98a1i 11 . . . . . 6 Poly
10 simprl 733 . . . . . . . . 9 Poly Poly
11 eldifsn 3919 . . . . . . . . 9 Poly Poly
1210, 11sylib 189 . . . . . . . 8 Poly Poly
1312simpld 446 . . . . . . 7 Poly Poly
14 dgrcl 20144 . . . . . . 7 Poly deg
1513, 14syl 16 . . . . . 6 Poly deg
1613adantr 452 . . . . . . . 8 Poly deg Poly
17 0z 10285 . . . . . . . 8
18 eqid 2435 . . . . . . . . 9 coeff coeff
1918coef2 20142 . . . . . . . 8 Poly coeff
2016, 17, 19sylancl 644 . . . . . . 7 Poly deg coeff
21 fznn0sub 11077 . . . . . . . 8 deg deg
2221adantl 453 . . . . . . 7 Poly deg deg
2320, 22ffvelrnd 5863 . . . . . 6 Poly deg coeffdeg
249, 15, 23elplyd 20113 . . . . 5 Poly degcoeffdeg Poly
25 0cn 9076 . . . . . 6
26 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 coeff degcoeffdeg coeff degcoeffdeg
2726coefv0 20158 . . . . . . . . 9 degcoeffdeg Poly degcoeffdeg coeff degcoeffdeg
2824, 27syl 16 . . . . . . . 8 Poly degcoeffdeg coeff degcoeffdeg
2923zcnd 10368 . . . . . . . . . 10 Poly deg coeffdeg
30 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10 Poly degcoeffdeg degcoeffdeg
3124, 15, 29, 30coeeq2 20153 . . . . . . . . 9 Poly coeff degcoeffdeg deg coeffdeg
3231fveq1d 5722 . . . . . . . 8 Poly coeff degcoeffdeg deg coeffdeg
33 0nn0 10228 . . . . . . . . . 10
34 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
35 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
3635fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12 coeffdeg coeffdeg
37 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . 12
3834, 36, 37ifbieq12d 3753 . . . . . . . . . . 11 deg coeffdeg deg coeffdeg
39 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 deg coeffdeg deg coeffdeg
40 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12 coeffdeg
41 c0ex 9077 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41ifex 3789 . . . . . . . . . . 11 deg coeffdeg
4338, 39, 42fvmpt 5798 . . . . . . . . . 10 deg coeffdeg deg coeffdeg
4433, 43ax-mp 8 . . . . . . . . 9 deg coeffdeg deg coeffdeg
4515nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
46 iftrue 3737 . . . . . . . . . . 11 deg deg coeffdeg coeffdeg
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . 10 Poly deg coeffdeg coeffdeg
4815nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
4948subid1d 9392 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg
5049fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10 Poly coeffdeg coeffdeg
5147, 50eqtrd 2467 . . . . . . . . 9 Poly deg coeffdeg coeffdeg
5244, 51syl5eq 2479 . . . . . . . 8 Poly deg coeffdeg coeffdeg
5328, 32, 523eqtrd 2471 . . . . . . 7 Poly degcoeffdeg coeffdeg
5412simprd 450 . . . . . . . 8 Poly
55 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 deg deg
5655, 18dgreq0 20175 . . . . . . . . . 10 Poly coeffdeg
5713, 56syl 16 . . . . . . . . 9 Poly coeffdeg
5857necon3bid 2633 . . . . . . . 8 Poly coeffdeg
5954, 58mpbid 202 . . . . . . 7 Poly coeffdeg
6053, 59eqnetrd 2616 . . . . . 6 Poly degcoeffdeg
61 ne0p 20118 . . . . . 6 degcoeffdeg degcoeffdeg
6225, 60, 61sylancr 645 . . . . 5 Poly degcoeffdeg
63 eldifsn 3919 . . . . 5 degcoeffdeg Poly degcoeffdeg Poly degcoeffdeg
6424, 62, 63sylanbrc 646 . . . 4 Poly degcoeffdeg Poly
65 oveq1 6080 . . . . . . . . 9
6665oveq2d 6089 . . . . . . . 8 coeffdeg coeffdeg
6766sumeq2sdv 12490 . . . . . . 7 degcoeffdeg degcoeffdeg
68 eqid 2435 . . . . . . 7 degcoeffdeg degcoeffdeg
69 sumex 12473 . . . . . . 7 degcoeffdeg
7067, 68, 69fvmpt 5798 . . . . . 6 degcoeffdeg degcoeffdeg
717, 70syl 16 . . . . 5 Poly degcoeffdeg degcoeffdeg
7218coef3 20143 . . . . . . . . . . 11 Poly coeff
7313, 72syl 16 . . . . . . . . . 10 Poly coeff
74 elfznn0 11075 . . . . . . . . . 10 deg
75 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
7673, 74, 75syl2an 464 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff
774ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10 Poly
78 expcl 11391 . . . . . . . . . 10
7977, 74, 78syl2an 464 . . . . . . . . 9 Poly deg
8076, 79mulcld 9100 . . . . . . . 8 Poly deg coeff
8177, 15expcld 11515 . . . . . . . . 9 Poly deg
8281adantr 452 . . . . . . . 8 Poly deg deg
83 simplr 732 . . . . . . . . . 10 Poly
8415nn0zd 10365 . . . . . . . . . 10 Poly deg
8577, 83, 84expne0d 11521 . . . . . . . . 9 Poly deg
8685adantr 452 . . . . . . . 8 Poly deg deg
8780, 82, 86divcld 9782 . . . . . . 7 Poly deg coeff deg
88 fveq2 5720 . . . . . . . . 9 deg coeff coeff deg
89 oveq2 6081 . . . . . . . . 9 deg deg
9088, 89oveq12d 6091 . . . . . . . 8 deg coeff coeff deg deg
9190oveq1d 6088 . . . . . . 7 deg coeff deg coeff deg deg deg
9287, 91fsumrev2 12557 . . . . . 6 Poly degcoeff deg degcoeff deg deg deg
9348adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg deg
9493addid2d 9259 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg deg deg
9594oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg deg
9695fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10 Poly deg coeff deg coeffdeg
9795oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg deg
9877adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
9983adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
100 elfznn0 11075 . . . . . . . . . . . . . 14 deg
101100adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg
102101nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
10384adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg deg
10498, 99, 102, 103expsubd 11526 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg deg
10597, 104eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg deg
10696, 105oveq12d 6091 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff deg deg coeffdeg deg
107106oveq1d 6088 . . . . . . . 8 Poly deg coeff deg deg deg coeffdeg deg deg
10881adantr 452 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
109 expcl 11391 . . . . . . . . . . 11
11077, 100, 109syl2an 464 . . . . . . . . . 10 Poly deg
11198, 99, 102expne0d 11521 . . . . . . . . . 10 Poly deg
112108, 110, 111divcld 9782 . . . . . . . . 9 Poly deg deg
11385adantr 452 . . . . . . . . 9 Poly deg deg
11429, 112, 108, 113divassd 9817 . . . . . . . 8 Poly deg coeffdeg deg deg coeffdeg deg deg
115108, 113dividd 9780 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg deg
116115oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg deg
117108, 110, 108, 111, 113divdiv32d 9807 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg deg deg deg
11898, 99, 102exprecd 11523 . . . . . . . . . 10 Poly deg
119116, 117, 1183eqtr4d 2477 . . . . . . . . 9 Poly deg deg deg
120119oveq2d 6089 . . . . . . . 8 Poly deg coeffdeg deg deg coeffdeg
121107, 114, 1203eqtrd 2471 . . . . . . 7 Poly deg coeff deg deg deg coeffdeg
122121sumeq2dv 12489 . . . . . 6 Poly degcoeff deg deg deg degcoeffdeg
12392, 122eqtrd 2467 . . . . 5 Poly degcoeff deg degcoeffdeg
12418, 55coeid2 20150 . . . . . . . . 9 Poly degcoeff
12513, 77, 124syl2anc 643 . . . . . . . 8 Poly degcoeff
126 simprr 734 . . . . . . . 8 Poly
127125, 126eqtr3d 2469 . . . . . . 7 Poly degcoeff
128127oveq1d 6088 . . . . . 6 Poly degcoeff deg deg
129 fzfid 11304 . . . . . . 7 Poly deg
130129, 81, 80, 85fsumdivc 12561 . . . . . 6 Poly degcoeff deg degcoeff deg
13181, 85div0d 9781 . . . . . 6 Poly deg
132128, 130, 1313eqtr3d 2475 . . . . 5 Poly degcoeff deg
13371, 123, 1323eqtr2d 2473 . . . 4 Poly degcoeffdeg
134 fveq1 5719 . . . . . 6 degcoeffdeg degcoeffdeg
135134eqeq1d 2443 . . . . 5 degcoeffdeg degcoeffdeg
136135rspcev 3044 . . . 4 degcoeffdeg Poly degcoeffdeg Poly
13764, 133, 136syl2anc 643 . . 3 Poly Poly
138 elaa 20225 . . 3 Poly
1397, 137, 138sylanbrc 646 . 2 Poly
1403, 139rexlimddv 2826 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698   cdif 3309   wss 3312  cif 3731  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  cn0 10213  cz 10274  cfz 11035  cexp 11374  csu 12471  c0p 19553  Polycply 20095  coeffccoe 20097  degcdgr 20098  caa 20223 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102  df-aa 20224
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