Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ab2rexexg Unicode version

Theorem ab2rexexg 25225
Description: Existence of a class abstraction of existentially restricted sets. (Contributed by FL, 19-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
ab2rexexg  |-  ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E )  ->  { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, z    x, B, z    y, B, z    z, C
Allowed substitution hints:    A( y)    C( x, y)    D( x, y, z)    E( x, y, z)

Proof of Theorem ab2rexexg
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  _V )
2 elex 2809 . 2  |-  ( B  e.  E  ->  B  e.  _V )
3 rexeq 2750 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  <->  E. x  e.  if  ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) E. y  e.  B  z  =  C ) )
43abbidv 2410 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C }  =  { z  |  E. x  e.  if  ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) E. y  e.  B  z  =  C } )
54eleq1d 2362 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C }  e.  _V  <->  { z  |  E. x  e.  if  ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) E. y  e.  B  z  =  C }  e.  _V )
)
6 rexeq 2750 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  ( E. y  e.  B  z  =  C  <->  E. y  e.  if  ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) z  =  C ) )
76rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  ( E. x  e.  if  ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) E. y  e.  B  z  =  C  <->  E. x  e.  if  ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) E. y  e.  if  ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) z  =  C ) )
87abbidv 2410 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  { z  |  E. x  e.  if  ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) E. y  e.  B  z  =  C }  =  { z  |  E. x  e.  if  ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) E. y  e.  if  ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) z  =  C } )
98eleq1d 2362 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  if  ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) E. y  e.  B  z  =  C }  e.  _V  <->  { z  |  E. x  e.  if  ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) E. y  e.  if  ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) z  =  C }  e.  _V )
)
10 0ex 4166 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
1110elimel 3630 . . . 4  |-  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )  e. 
_V
1210elimel 3630 . . . 4  |-  if ( B  e.  _V ,  B ,  (/) )  e. 
_V
1311, 12ab2rexex 6016 . . 3  |-  { z  |  E. x  e.  if  ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) E. y  e.  if  ( B  e. 
_V ,  B ,  (/) ) z  =  C }  e.  _V
145, 9, 13dedth2h 3620 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C }  e.  _V )
151, 2, 14syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E )  ->  { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   ifcif 3578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator