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Theorem abelth 19833
 Description: Abel's theorem. If the power series is convergent at , then it is equal to the limit from "below", along a Stolz angle (note that the case of a Stolz angle is the real line ). (Continuity on follows more generally from psercn 19818.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1
abelth.2
abelth.3
abelth.4
abelth.5
abelth.6
Assertion
Ref Expression
abelth
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)

Proof of Theorem abelth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . 4
2 abelth.2 . . . 4
3 abelth.3 . . . 4
4 abelth.4 . . . 4
5 abelth.5 . . . 4
6 abelth.6 . . . 4
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 19826 . . 3
81, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem9 19832 . . . . . . . . . 10
91, 2, 3, 4, 5abelthlem2 19824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1311, 12ovresd 6004 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165, 15eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716, 12sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2014, 17, 19sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
2113, 20eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14
2221breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13
237ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2523, 11, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
267adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2826, 27sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
2918cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . . 15
3025, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
3130breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13
3222, 31imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12
3332ralbidva 2572 . . . . . . . . . . 11
3433rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10
358, 34mpbird 223 . . . . . . . . 9
3635ralrimiva 2639 . . . . . . . 8
37 cnxmet 18298 . . . . . . . . . . 11
38 xmetres2 17941 . . . . . . . . . . 11
3937, 16, 38mp2an 653 . . . . . . . . . 10
4039a1i 10 . . . . . . . . 9
4137a1i 10 . . . . . . . . 9
42 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
43 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
4443cnfldtopn 18307 . . . . . . . . . . . 12 fld
45 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
4642, 44, 45metrest 18086 . . . . . . . . . . 11 fldt
4737, 16, 46mp2an 653 . . . . . . . . . 10 fldt
4847, 44metcnp 18103 . . . . . . . . 9 fldt fld
4940, 41, 10, 48syl3anc 1182 . . . . . . . 8 fldt fld
507, 36, 49mpbir2and 888 . . . . . . 7 fldt fld
5150ad2antrr 706 . . . . . 6 fldt fld
52 simpr 447 . . . . . . 7
5352fveq2d 5545 . . . . . 6 fldt fld fldt fld
5451, 53eleqtrrd 2373 . . . . 5 fldt fld
55 eldifsn 3762 . . . . . . 7
569simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
57 abscl 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5958a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
60 absge0 11788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6261a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
631, 2abelthlem1 19823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6558rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
66 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
67 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6866, 67mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
69 iccssxr 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
70 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
71 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7270, 1, 71radcnvcl 19809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7369, 72sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
75 xrltletr 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7665, 68, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7764, 76mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7859, 62, 773jcad 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79 0cn 8847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8018cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8179, 80mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82 abssub 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8379, 82mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84 subid1 9084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8584fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8681, 83, 853eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8786breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8887adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
90 elico2 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9189, 74, 90sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9278, 88, 913imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9392imdistanda 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9466, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95 elbl 17965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9637, 79, 94, 95mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 absf 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99 elpreima 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10097, 98, 99mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10193, 96, 1003imtr4g 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101ssrdv 3198 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10356, 102sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 resmpt 5016 . . . . . . . . . . . . . . 15
105103, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
1066reseq1i 4967 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108 resmpt 5016 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109107, 108ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15
110106, 109eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . 14
111105, 110syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . 13
112 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11397fdmi 5410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114112, 113sseqtri 3223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115114sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11670pserval2 19803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117116sumeq2dv 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120118, 119oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121120cbvsumv 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122117, 121syl6reqr 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123115, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124123mpteq2ia 4118 . . . . . . . . . . . . . . 15
125 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
12770, 124, 1, 71, 125, 126psercn 19818 . . . . . . . . . . . . . 14
128 rescncf 18417 . . . . . . . . . . . . . 14
129103, 127, 128sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13
130111, 129eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . 12
131130adantr 451 . . . . . . . . . . 11
132107, 16sstri 3201 . . . . . . . . . . . 12
133 ssid 3210 . . . . . . . . . . . 12
134 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 fldt fldt
13543cnfldtop 18309 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld
13643cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld TopOn
137136toponunii 16686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld
138137restid 13354 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fldt fld
139135, 138ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt fld
140139eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . 13 fld fldt
14143, 134, 140cncfcn 18429 . . . . . . . . . . . 12 fldt fld
142132, 133, 141mp2an 653 . . . . . . . . . . 11 fldt fld
143131, 142syl6eleq 2386 . . . . . . . . . 10 fldt fld
144 simpr 447 . . . . . . . . . 10
145 resttopon 16908 . . . . . . . . . . . . 13 fld TopOn fldt TopOn
146136, 132, 145mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12 fldt TopOn
147146toponunii 16686 . . . . . . . . . . 11 fldt
148147cncnpi 17023 . . . . . . . . . 10 fldt fld fldt fld
149143, 144, 148syl2anc 642 . . . . . . . . 9 fldt fld
150 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . 13
151150, 16ssexi 4175 . . . . . . . . . . . 12
152 restabs 16912 . . . . . . . . . . . 12 fld fldt t fldt
153135, 107, 151, 152mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11 fldt t fldt
154153oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10 fldt t fld fldt fld
155154fveq1i 5542 . . . . . . . . 9 fldt t fld fldt fld
156149, 155syl6eleqr 2387 . . . . . . . 8 fldt t fld
157 resttop 16907 . . . . . . . . . . 11 fld fldt
158135, 151, 157mp2an 653 . . . . . . . . . 10 fldt
159158a1i 10 . . . . . . . . 9 fldt
160107a1i 10 . . . . . . . . 9
16110snssd 3776 . . . . . . . . . . . . 13
16243cnfldhaus 18310 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld
163137sncld 17115 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fld
164162, 14, 163mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14 fld
165137restcldi 16920 . . . . . . . . . . . . . 14 fld fldt
16616, 164, 165mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
167137restuni 16909 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fldt
168135, 16, 167mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
169168cldopn 16784 . . . . . . . . . . . . 13 fldt fldt
170161, 166, 1693syl 18 . . . . . . . . . . . 12 fldt
171168isopn3 16819 . . . . . . . . . . . . 13 fldt fldt fldt
172158, 107, 171mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12 fldt fldt
173170, 172sylib 188 . . . . . . . . . . 11 fldt
174173eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10 fldt
175174biimpar 471 . . . . . . . . 9 fldt
1767adantr 451 . . . . . . . . 9
177168, 137cnprest 17033 . . . . . . . . 9 fldt fldt fldt fld fldt t fld
178159, 160, 175, 176, 177syl22anc 1183 . . . . . . . 8 fldt fld fldt t fld
179156, 178mpbird 223 . . . . . . 7 fldt fld
18055, 179sylan2br 462 . . . . . 6 fldt fld
181180anassrs 629 . . . . 5 fldt fld
18254, 181pm2.61dane 2537 . . . 4 fldt fld
183182ralrimiva 2639 . . 3 fldt fld
184 resttopon 16908 . . . . 5 fld TopOn fldt TopOn
185136, 16, 184mp2an 653 . . . 4 fldt TopOn
186 cncnp 17025 . . . 4 fldt TopOn fld TopOn fldt fld fldt fld
187185, 136, 186mp2an 653 . . 3 fldt fld fldt fld
1887, 183, 187sylanbrc 645 . 2 fldt fld
189 eqid 2296 . . . 4 fldt fldt
19043, 189, 140cncfcn 18429 . . 3 fldt fld
19116, 133, 190mp2an 653 . 2 fldt fld
192188, 191syl6eleqr 2387 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   wss 3165  cif 3578  csn 3653  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703  ccnv 4704   cdm 4705   cres 4707  cima 4708   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  c2 9811  cn0 9981  crp 10370  cico 10674  cicc 10675   cseq 11062  cexp 11120  cabs 11735   cli 11974  csu 12174   ↾t crest 13341  ctopn 13342  cxmt 16385  cbl 16387  cmopn 16388  ℂfldccnfld 16393  ctop 16647  TopOnctopon 16648  ccld 16769  cnt 16770   ccn 16970   ccnp 16971  cha 17052  ccncf 18396 This theorem is referenced by:  abelth2  19834 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-t1 17058  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-ulm 19772
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