MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelth2 Structured version   Unicode version

Theorem abelth2 20360
Description: Abel's theorem, restricted to the  [ 0 ,  1 ] interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth2.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth2.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth2.3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelth2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    ph, n, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem abelth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitssre 11044 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
2 ax-resscn 9049 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
31, 2sstri 3359 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  CC )
5 1re 9092 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
6 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  z  e.  ( 0 [,] 1
) )
7 0re 9093 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
87, 5elicc2i 10978 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( z  e.  RR  /\  0  <_ 
z  /\  z  <_  1 ) )
96, 8sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <_  z  /\  z  <_  1 ) )
109simp1d 970 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  z  e.  RR )
11 resubcl 9367 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( 1  -  z
)  e.  RR )
125, 10, 11sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  z )  e.  RR )
1312leidd 9595 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  z )  <_  ( 1  -  z ) )
145a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  1  e.  RR )
159simp3d 972 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  z  <_  1 )
1610, 14, 15abssubge0d 12236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  =  ( 1  -  z
) )
179simp2d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  0  <_  z )
1810, 17absidd 12227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( abs `  z )  =  z )
1918oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  ( 1  -  z
) )
2019oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( 1  x.  (
1  -  z ) ) )
2112recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  z )  e.  CC )
2221mulid2d 9108 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  x.  ( 1  -  z ) )  =  ( 1  -  z ) )
2320, 22eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( 1  -  z
) )
2413, 16, 233brtr4d 4244 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_ 
( 1  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) ) )
254, 24ssrabdv 3424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } )
26 resmpt 5193 . . . 4  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) }  ->  ( ( x  e.  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  (
0 [,] 1 ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) ) )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  (
0 [,] 1 ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) ) )
28 abelth2.3 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
2927, 28syl6eqr 2488 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  (
0 [,] 1 ) )  =  F )
30 abelth2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
31 abelth2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
325a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
33 0le1 9553 . . . . 5  |-  0  <_  1
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
35 eqid 2438 . . . 4  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  =  {
z  e.  CC  | 
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) }
36 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) )
3730, 31, 32, 34, 35, 36abelth 20359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
z  e.  CC  | 
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  e.  ( { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) }
-cn-> CC ) )
38 rescncf 18929 . . 3  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) }  ->  ( ( x  e.  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  e.  ( { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) }
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  {
z  e.  CC  | 
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  (
0 [,] 1 ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) ) )
3925, 37, 38sylc 59 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  (
0 [,] 1 ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
4029, 39eqeltrrd 2513 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880    |` cres 4882   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    <_ cle 9123    - cmin 9293   NN0cn0 10223   [,]cicc 10921    seq cseq 11325   ^cexp 11384   abscabs 12041    ~~> cli 12280   sum_csu 12481   -cn->ccncf 18908
This theorem is referenced by:  leibpi  20784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-t1 17380  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-ulm 20295
  Copyright terms: Public domain W3C validator