MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem4 Unicode version

Theorem abelthlem4 20333
Description: Lemma for abelth 20340. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
Distinct variable groups:    x, n, z, M    A, n, x, z    ph, n, x    S, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10504 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10277 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
4 fveq2 5714 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  ( A `  m )  =  ( A `  n ) )
5 oveq2 6075 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
x ^ m )  =  ( x ^
n ) )
64, 5oveq12d 6085 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( A `  m
)  x.  ( x ^ m ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) )
7 eqid 2430 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( x ^
m ) ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 m )  x.  ( x ^ m
) ) )
8 ovex 6092 . . . . 5  |-  ( ( A `  n )  x.  ( x ^
n ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5792 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( x ^
m ) ) ) `
 n )  =  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
109adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  (
x ^ m ) ) ) `  n
)  =  ( ( A `  n )  x.  ( x ^
n ) ) )
11 abelth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
1211adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
1312ffvelrnda 5856 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
14 abelth.5 . . . . . . . 8  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
15 ssrab2 3415 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
1614, 15eqsstri 3365 . . . . . . 7  |-  S  C_  CC
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1817sselda 3335 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
19 expcl 11382 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( x ^ n
)  e.  CC )
2018, 19sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
x ^ n )  e.  CC )
2113, 20mulcld 9092 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  e.  CC )
22 abelth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
23 abelth.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
24 abelth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
2511, 22, 23, 24, 14abelthlem3 20332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  (
x ^ m ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
261, 3, 10, 21, 25isumcl 12528 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  e.  CC )
27 abelth.6 . 2  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
2826, 27fmptd 5879 1  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2696    C_ wss 3307   class class class wbr 4199    e. cmpt 4253   dom cdm 4864   -->wf 5436   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   CCcc 8972   RRcr 8973   0cc0 8974   1c1 8975    + caddc 8977    x. cmul 8979    <_ cle 9105    - cmin 9275   NN0cn0 10205   ZZcz 10266    seq cseq 11306   ^cexp 11365   abscabs 12022    ~~> cli 12261   sum_csu 12462
This theorem is referenced by:  abelthlem7  20337  abelthlem8  20338  abelthlem9  20339  abelth  20340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-rp 10597  df-xadd 10695  df-ico 10906  df-icc 10907  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-fl 11185  df-seq 11307  df-exp 11366  df-hash 11602  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-limsup 12248  df-clim 12265  df-rlim 12266  df-sum 12463  df-psmet 16677  df-xmet 16678  df-met 16679  df-bl 16680
  Copyright terms: Public domain W3C validator