MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem4 Structured version   Unicode version

Theorem abelthlem4 20388
Description: Lemma for abelth 20395. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
Distinct variable groups:    x, n, z, M    A, n, x, z    ph, n, x    S, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10558 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10331 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
4 fveq2 5763 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  ( A `  m )  =  ( A `  n ) )
5 oveq2 6125 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
x ^ m )  =  ( x ^
n ) )
64, 5oveq12d 6135 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( A `  m
)  x.  ( x ^ m ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) )
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( x ^
m ) ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 m )  x.  ( x ^ m
) ) )
8 ovex 6142 . . . . 5  |-  ( ( A `  n )  x.  ( x ^
n ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5842 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( x ^
m ) ) ) `
 n )  =  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
109adantl 454 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  (
x ^ m ) ) ) `  n
)  =  ( ( A `  n )  x.  ( x ^
n ) ) )
11 abelth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
1211adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
1312ffvelrnda 5906 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
14 abelth.5 . . . . . . . 8  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
15 ssrab2 3417 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
1614, 15eqsstri 3367 . . . . . . 7  |-  S  C_  CC
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1817sselda 3337 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
19 expcl 11437 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( x ^ n
)  e.  CC )
2018, 19sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
x ^ n )  e.  CC )
2113, 20mulcld 9146 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  e.  CC )
22 abelth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
23 abelth.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
24 abelth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
2511, 22, 23, 24, 14abelthlem3 20387 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  (
x ^ m ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
261, 3, 10, 21, 25isumcl 12583 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  e.  CC )
27 abelth.6 . 2  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
2826, 27fmptd 5929 1  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728   {crab 2716    C_ wss 3309   class class class wbr 4243    e. cmpt 4297   dom cdm 4913   -->wf 5485   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   CCcc 9026   RRcr 9027   0cc0 9028   1c1 9029    + caddc 9031    x. cmul 9033    <_ cle 9159    - cmin 9329   NN0cn0 10259   ZZcz 10320    seq cseq 11361   ^cexp 11420   abscabs 12077    ~~> cli 12316   sum_csu 12517
This theorem is referenced by:  abelthlem7  20392  abelthlem8  20393  abelthlem9  20394  abelth  20395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106  ax-addf 9107  ax-mulf 9108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-xadd 10749  df-ico 10960  df-icc 10961  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-fl 11240  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-limsup 12303  df-clim 12320  df-rlim 12321  df-sum 12518  df-psmet 16732  df-xmet 16733  df-met 16734  df-bl 16735
  Copyright terms: Public domain W3C validator