MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem4 Unicode version

Theorem abelthlem4 20210
Description: Lemma for abelth 20217. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
Distinct variable groups:    x, n, z, M    A, n, x, z    ph, n, x    S, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10445 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10218 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
4 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  ( A `  m )  =  ( A `  n ) )
5 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
x ^ m )  =  ( x ^
n ) )
64, 5oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( A `  m
)  x.  ( x ^ m ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) )
7 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( x ^
m ) ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 m )  x.  ( x ^ m
) ) )
8 ovex 6038 . . . . 5  |-  ( ( A `  n )  x.  ( x ^
n ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5738 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( x ^
m ) ) ) `
 n )  =  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
109adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  (
x ^ m ) ) ) `  n
)  =  ( ( A `  n )  x.  ( x ^
n ) ) )
11 abelth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
1211adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
1312ffvelrnda 5802 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
14 abelth.5 . . . . . . . 8  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
15 ssrab2 3364 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
1614, 15eqsstri 3314 . . . . . . 7  |-  S  C_  CC
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1817sselda 3284 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
19 expcl 11319 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( x ^ n
)  e.  CC )
2018, 19sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
x ^ n )  e.  CC )
2113, 20mulcld 9034 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  e.  CC )
22 abelth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
23 abelth.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
24 abelth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
2511, 22, 23, 24, 14abelthlem3 20209 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  (
x ^ m ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
261, 3, 10, 21, 25isumcl 12465 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  e.  CC )
27 abelth.6 . 2  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
2826, 27fmptd 5825 1  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2646    C_ wss 3256   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   dom cdm 4811   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    <_ cle 9047    - cmin 9216   NN0cn0 10146   ZZcz 10207    seq cseq 11243   ^cexp 11302   abscabs 11959    ~~> cli 12198   sum_csu 12399
This theorem is referenced by:  abelthlem7  20214  abelthlem8  20215  abelthlem9  20216  abelth  20217
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-xadd 10636  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614
  Copyright terms: Public domain W3C validator