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Theorem abelthlem5 19813
Description: Lemma for abelth 19819. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
Assertion
Ref Expression
abelthlem5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    k, n, x, z, M    k, X, n, x, z    A, k, n, x, z    ph, k, n, x    S, k, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, k, n)

Proof of Theorem abelthlem5
Dummy variables  i 
j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10264 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10037 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
32a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 1rp 10360 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
54a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
6 eqidd 2286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )
7 abelth.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
81, 3, 5, 6, 7climi0 11988 . . 3  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  m )
)  <  1 )
98adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  E. j  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
)
10 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  j  e.  NN0 )
11 oveq2 5868 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  (
( abs `  X
) ^ n )  =  ( ( abs `  X ) ^ i
) )
12 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
13 ovex 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  X ) ^ i )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5604 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) `
 i )  =  ( ( abs `  X
) ^ i ) )
1514adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) `  i )  =  ( ( abs `  X ) ^ i
) )
16 cnxmet 18284 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
17 0cn 8833 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
18 rpxr 10363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
194, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR*
20 blssm 17970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
2116, 17, 19, 20mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
22 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
2321, 22sseldi 3180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  X  e.  CC )
2423abscld 11920 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
25 reexpcl 11122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  X
) ^ i )  e.  RR )
2624, 25sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( abs `  X
) ^ i )  e.  RR )
2715, 26eqeltrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) `  i )  e.  RR )
28 fveq2 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )
29 oveq2 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ i
) )
3028, 29oveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i )  x.  ( X ^ i
) ) )
31 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
32 ovex 5885 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i )  x.  ( X ^ i ) )  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5604 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )
3433adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i )  x.  ( X ^ i
) ) )
35 abelth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
36 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( A `  x
)  e.  CC )
3735, 36sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( A `  x )  e.  CC )
381, 3, 37serf 11076 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
3938ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
40 ffvelrn 5665 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
4139, 40sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
42 expcl 11123 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( X ^ i
)  e.  CC )
4323, 42sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( X ^ i )  e.  CC )
4441, 43mulcld 8857 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i )  x.  ( X ^ i
) )  e.  CC )
4534, 44eqeltrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  e.  CC )
4624recnd 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
47 absidm 11809 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  =  ( abs `  X ) )
4823, 47syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  =  ( abs `  X ) )
49 eqid 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
5049cnmetdval 18282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
5123, 17, 50sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( X ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
5223subid1d 9148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( X  -  0 )  =  X )
5352fveq2d 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( X  - 
0 ) )  =  ( abs `  X
) )
5451, 53eqtrd 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( X ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  X
) )
55 elbl3 17953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
5616, 19, 55mpanl12 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
5717, 23, 56sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
5822, 57mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( X ( abs  o.  -  ) 0 )  <  1 )
5954, 58eqbrtrrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  X )  <  1 )
6048, 59eqbrtrd 4045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  <  1
)
6146, 60, 15geolim 12328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
62 climrel 11968 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
6362releldmi 4917 . . . . . 6  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6461, 63syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
65 1re 8839 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6665a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  1  e.  RR )
6739adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  seq  0
(  +  ,  A
) : NN0 --> CC )
68 eluznn0 10290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
i  e.  NN0 )
6910, 68sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  i  e.  NN0 )
7067, 69, 40syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
7169, 43syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( X ^ i )  e.  CC )
7270, 71absmuld 11938 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )  x.  ( X ^ i
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  x.  ( abs `  ( X ^
i ) ) ) )
7323adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  X  e.  CC )
7473, 69absexpd 11936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( X ^ i
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ i ) )
7574oveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  x.  ( abs `  ( X ^ i
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ i ) ) )
7672, 75eqtrd 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )  x.  ( X ^ i
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ i ) ) )
7770abscld 11920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i ) )  e.  RR )
7865a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  1  e.  RR )
7969, 26syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
i )  e.  RR )
8071absge0d 11928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( X ^ i ) ) )
8180, 74breqtrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ i ) )
82 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
)
83 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  i  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )
8483fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  i  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  m )
)  =  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
) )
8584breq1d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  i  ->  (
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1  <->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  <  1
) )
8685rspccva 2885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  <  1
)
8782, 86sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i ) )  <  1 )
88 ltle 8912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  <  1  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  <_  1
) )
8977, 65, 88sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  <  1  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  <_  1
) )
9087, 89mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i ) )  <_  1 )
9177, 78, 79, 81, 90lemul1ad 9698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ i ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  X
) ^ i ) ) )
9276, 91eqbrtrd 4045 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )  x.  ( X ^ i
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
( abs `  X
) ^ i ) ) )
9369, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )
9493fveq2d 5531 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i ) )  =  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )  x.  ( X ^ i
) ) ) )
9569, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) `
 i )  =  ( ( abs `  X
) ^ i ) )
9695oveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) `
 i ) )  =  ( 1  x.  ( ( abs `  X
) ^ i ) ) )
9792, 94, 963brtr4d 4055 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i ) )  <_  ( 1  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) `
 i ) ) )
981, 10, 27, 45, 64, 66, 97cvgcmpce 12278 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9998expr 598 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  j  e. 
NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
10099rexlimdva 2669 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( E. j  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
1019, 100mpd 14 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   {crab 2549    C_ wss 3154   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   dom cdm 4691    o. ccom 4695   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039    / cdiv 9425   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   RR+crp 10356    seq cseq 11048   ^cexp 11106   abscabs 11721    ~~> cli 11960   sum_csu 12160   * Metcxmt 16371   ballcbl 16373
This theorem is referenced by:  abelthlem6  19814  abelthlem7  19816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-xadd 10455  df-ico 10664  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377
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