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Theorem abelthlem5 20211
Description: Lemma for abelth 20217. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
Assertion
Ref Expression
abelthlem5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    k, n, x, z, M    k, X, n, x, z    A, k, n, x, z    ph, k, n, x    S, k, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, k, n)

Proof of Theorem abelthlem5
Dummy variables  i 
j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10445 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10218 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 1rp 10541 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
6 eqidd 2381 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )
7 abelth.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
81, 3, 5, 6, 7climi0 12226 . . 3  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  m )
)  <  1 )
98adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  E. j  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
)
10 simprl 733 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  j  e.  NN0 )
11 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( n  =  i  ->  (
( abs `  X
) ^ n )  =  ( ( abs `  X ) ^ i
) )
12 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
13 ovex 6038 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  X ) ^ i )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5738 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) `
 i )  =  ( ( abs `  X
) ^ i ) )
1514adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) `  i )  =  ( ( abs `  X ) ^ i
) )
16 cnxmet 18671 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
17 0cn 9010 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
18 rpxr 10544 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
194, 18ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
20 blssm 18335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
2116, 17, 19, 20mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
22 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
2321, 22sseldi 3282 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  X  e.  CC )
2423abscld 12158 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
25 reexpcl 11318 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  X
) ^ i )  e.  RR )
2624, 25sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( abs `  X
) ^ i )  e.  RR )
2715, 26eqeltrd 2454 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) `  i )  e.  RR )
28 fveq2 5661 . . . . . . 7  |-  ( k  =  i  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )
29 oveq2 6021 . . . . . . 7  |-  ( k  =  i  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ i
) )
3028, 29oveq12d 6031 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i )  x.  ( X ^ i
) ) )
31 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
32 ovex 6038 . . . . . 6  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i )  x.  ( X ^ i ) )  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5738 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )
3433adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i )  x.  ( X ^ i
) ) )
35 abelth.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
3635ffvelrnda 5802 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( A `  x )  e.  CC )
371, 3, 36serf 11271 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
3837ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
3938ffvelrnda 5802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
40 expcl 11319 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( X ^ i
)  e.  CC )
4123, 40sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( X ^ i )  e.  CC )
4239, 41mulcld 9034 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i )  x.  ( X ^ i
) )  e.  CC )
4334, 42eqeltrd 2454 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  e.  CC )
4424recnd 9040 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
45 absidm 12047 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  =  ( abs `  X ) )
4623, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  =  ( abs `  X ) )
47 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4847cnmetdval 18669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
4923, 17, 48sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( X ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
5023subid1d 9325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( X  -  0 )  =  X )
5150fveq2d 5665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( X  - 
0 ) )  =  ( abs `  X
) )
5249, 51eqtrd 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( X ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  X
) )
53 elbl3 18318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
5416, 19, 53mpanl12 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
5517, 23, 54sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
5622, 55mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( X ( abs  o.  -  ) 0 )  <  1 )
5752, 56eqbrtrrd 4168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  X )  <  1 )
5846, 57eqbrtrd 4166 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  <  1
)
5944, 58, 15geolim 12567 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
60 climrel 12206 . . . . 5  |-  Rel  ~~>
6160releldmi 5039 . . . 4  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6259, 61syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
63 1re 9016 . . . 4  |-  1  e.  RR
6463a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  1  e.  RR )
6538adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  seq  0
(  +  ,  A
) : NN0 --> CC )
66 eluznn0 10471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
i  e.  NN0 )
6710, 66sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  i  e.  NN0 )
6865, 67ffvelrnd 5803 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
6967, 41syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( X ^ i )  e.  CC )
7068, 69absmuld 12176 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )  x.  ( X ^ i
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  x.  ( abs `  ( X ^
i ) ) ) )
7123adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  X  e.  CC )
7271, 67absexpd 12174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( X ^ i
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ i ) )
7372oveq2d 6029 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  x.  ( abs `  ( X ^ i
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ i ) ) )
7470, 73eqtrd 2412 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )  x.  ( X ^ i
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ i ) ) )
7568abscld 12158 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i ) )  e.  RR )
7663a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  1  e.  RR )
7767, 26syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
i )  e.  RR )
7869absge0d 12166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( X ^ i ) ) )
7978, 72breqtrd 4170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ i ) )
80 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
)
81 fveq2 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  i  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )
8281fveq2d 5665 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  i  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  m )
)  =  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
) )
8382breq1d 4156 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  i  ->  (
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1  <->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  <  1
) )
8483rspccva 2987 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  <  1
)
8580, 84sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i ) )  <  1 )
86 ltle 9089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  <  1  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  <_  1
) )
8775, 63, 86sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  <  1  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  <_  1
) )
8885, 87mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i ) )  <_  1 )
8975, 76, 77, 79, 88lemul1ad 9875 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ i ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  X
) ^ i ) ) )
9074, 89eqbrtrd 4166 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )  x.  ( X ^ i
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
( abs `  X
) ^ i ) ) )
9167, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )
9291fveq2d 5665 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i ) )  =  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )  x.  ( X ^ i
) ) ) )
9367, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) `
 i )  =  ( ( abs `  X
) ^ i ) )
9493oveq2d 6029 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) `
 i ) )  =  ( 1  x.  ( ( abs `  X
) ^ i ) ) )
9590, 92, 943brtr4d 4176 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i ) )  <_  ( 1  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) `
 i ) ) )
961, 10, 27, 43, 62, 64, 95cvgcmpce 12517 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  1
) )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
979, 96rexlimddv 2770 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646    C_ wss 3256   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   dom cdm 4811    o. ccom 4815   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921   RR*cxr 9045    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216    / cdiv 9602   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   RR+crp 10537    seq cseq 11243   ^cexp 11302   abscabs 11959    ~~> cli 12198   sum_csu 12399   * Metcxmt 16605   ballcbl 16607
This theorem is referenced by:  abelthlem6  20212  abelthlem7  20214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-xadd 10636  df-ico 10847  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614
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