Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem5 Structured version   Unicode version

Theorem abelthlem5 20343
 Description: Lemma for abelth 20349. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1
abelth.2
abelth.3
abelth.4
abelth.5
abelth.6
abelth.7
Assertion
Ref Expression
abelthlem5
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)

Proof of Theorem abelthlem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10512 . . . 4
2 0z 10285 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 1rp 10608 . . . . 5
54a1i 11 . . . 4
6 eqidd 2436 . . . 4
7 abelth.7 . . . 4
81, 3, 5, 6, 7climi0 12298 . . 3
10 simprl 733 . . 3
11 oveq2 6081 . . . . . 6
12 eqid 2435 . . . . . 6
13 ovex 6098 . . . . . 6
1411, 12, 13fvmpt 5798 . . . . 5
1514adantl 453 . . . 4
16 cnxmet 18799 . . . . . . . 8
17 0cn 9076 . . . . . . . 8
18 rpxr 10611 . . . . . . . . 9
194, 18ax-mp 8 . . . . . . . 8
20 blssm 18440 . . . . . . . 8
2116, 17, 19, 20mp3an 1279 . . . . . . 7
22 simplr 732 . . . . . . 7
2321, 22sseldi 3338 . . . . . 6
2423abscld 12230 . . . . 5
25 reexpcl 11390 . . . . 5
2624, 25sylan 458 . . . 4
2715, 26eqeltrd 2509 . . 3
28 fveq2 5720 . . . . . . 7
29 oveq2 6081 . . . . . . 7
3028, 29oveq12d 6091 . . . . . 6
31 eqid 2435 . . . . . 6
32 ovex 6098 . . . . . 6
3330, 31, 32fvmpt 5798 . . . . 5
3433adantl 453 . . . 4
35 abelth.1 . . . . . . . . 9
3635ffvelrnda 5862 . . . . . . . 8
371, 3, 36serf 11343 . . . . . . 7
3837ad2antrr 707 . . . . . 6
3938ffvelrnda 5862 . . . . 5
40 expcl 11391 . . . . . 6
4123, 40sylan 458 . . . . 5
4239, 41mulcld 9100 . . . 4
4334, 42eqeltrd 2509 . . 3
4424recnd 9106 . . . . 5
45 absidm 12119 . . . . . . 7
4623, 45syl 16 . . . . . 6
47 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
4847cnmetdval 18797 . . . . . . . . 9
4923, 17, 48sylancl 644 . . . . . . . 8
5023subid1d 9392 . . . . . . . . 9
5150fveq2d 5724 . . . . . . . 8
5249, 51eqtrd 2467 . . . . . . 7
53 elbl3 18414 . . . . . . . . . 10
5416, 19, 53mpanl12 664 . . . . . . . . 9
5517, 23, 54sylancr 645 . . . . . . . 8
5622, 55mpbid 202 . . . . . . 7
5752, 56eqbrtrrd 4226 . . . . . 6
5846, 57eqbrtrd 4224 . . . . 5
5944, 58, 15geolim 12639 . . . 4
60 climrel 12278 . . . . 5
6160releldmi 5098 . . . 4
6259, 61syl 16 . . 3
63 1re 9082 . . . 4
6463a1i 11 . . 3
6538adantr 452 . . . . . . . 8
66 eluznn0 10538 . . . . . . . . 9
6710, 66sylan 458 . . . . . . . 8
6865, 67ffvelrnd 5863 . . . . . . 7
6967, 41syldan 457 . . . . . . 7
7068, 69absmuld 12248 . . . . . 6
7123adantr 452 . . . . . . . 8
7271, 67absexpd 12246 . . . . . . 7
7372oveq2d 6089 . . . . . 6
7470, 73eqtrd 2467 . . . . 5
7568abscld 12230 . . . . . 6
7663a1i 11 . . . . . 6
7767, 26syldan 457 . . . . . 6
7869absge0d 12238 . . . . . . 7
7978, 72breqtrd 4228 . . . . . 6
80 simprr 734 . . . . . . . 8
81 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
8281fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
8382breq1d 4214 . . . . . . . . 9
8483rspccva 3043 . . . . . . . 8
8580, 84sylan 458 . . . . . . 7
86 ltle 9155 . . . . . . . 8
8775, 63, 86sylancl 644 . . . . . . 7
8885, 87mpd 15 . . . . . 6
8975, 76, 77, 79, 88lemul1ad 9942 . . . . 5
9074, 89eqbrtrd 4224 . . . 4
9167, 33syl 16 . . . . 5
9291fveq2d 5724 . . . 4
9367, 14syl 16 . . . . 5
9493oveq2d 6089 . . . 4
9590, 92, 943brtr4d 4234 . . 3
961, 10, 27, 43, 62, 64, 95cvgcmpce 12589 . 2
979, 96rexlimddv 2826 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  crab 2701   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cdm 4870   ccom 4874  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987  cxr 9111   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  crp 10604   cseq 11315  cexp 11374  cabs 12031   cli 12270  csu 12471  cxmt 16678  cbl 16680 This theorem is referenced by:  abelthlem6  20344  abelthlem7  20346 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689
 Copyright terms: Public domain W3C validator