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Theorem abelthlem6 19828
Description: Lemma for abelth 19833. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
abelthlem6.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, z, M    n, X, x, z    A, n, x, z    ph, n, x    S, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem6
Dummy variables  i 
k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelthlem6.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
2 eldifi 3311 . . . 4  |-  ( X  e.  ( S  \  { 1 } )  ->  X  e.  S
)
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
4 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ n )  =  ( X ^
n ) )
54oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
65sumeq2sdv 12193 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )
7 abelth.6 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
8 sumex 12176 . . . 4  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5618 . . 3  |-  ( X  e.  S  ->  ( F `  X )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )
103, 9syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
11 nn0uz 10278 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
12 0z 10051 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
1312a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
14 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( A `  k )  =  ( A `  n ) )
15 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ n
) )
1614, 15oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( A `  k
)  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
17 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) )
18 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) )  e. 
_V
1916, 17, 18fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )
2019adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )
21 abelth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
22 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A `  n
)  e.  CC )
2321, 22sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
24 abelth.5 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
25 ssrab2 3271 . . . . . . 7  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
2624, 25eqsstri 3221 . . . . . 6  |-  S  C_  CC
2726, 3sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
28 expcl 11137 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( X ^ n
)  e.  CC )
2927, 28sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X ^ n )  e.  CC )
3023, 29mulcld 8871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
31 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )
3231, 15oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
33 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
34 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  _V
3532, 33, 34fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
3635adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
3711, 13, 23serf 11090 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
38 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
3937, 38sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
4039, 29mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
41 abelth.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
42 abelth.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
43 abelth.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
4421, 41, 42, 43, 24abelthlem2 19824 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
4544simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
4645, 1sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
47 abelth.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
4821, 41, 42, 43, 24, 7, 47abelthlem5 19827 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
4946, 48mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5011, 13, 36, 40, 49isumclim2 12237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
51 seqex 11064 . . . . . 6  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) )  e.  _V
5251a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  e.  _V )
53 0nn0 9996 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
5453a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
55 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  -  1 )  =  ( i  - 
1 ) )
5655oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )
5756sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `
 m ) )
58 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ i
) )
5957, 58oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ i ) ) )
60 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) )
61 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ i
) )  e.  _V
6259, 60, 61fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( i  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
i ) ) )
6362adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( i  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
i ) ) )
64 fzfid 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( i  - 
1 ) )  e. 
Fin )
6521adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
66 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A `  m
)  e.  CC )
6865, 66, 67syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
6964, 68fsumcl 12222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) ( A `  m )  e.  CC )
70 expcl 11137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( X ^ i
)  e.  CC )
7127, 70sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( X ^ i )  e.  CC )
7269, 71mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ i
) )  e.  CC )
7363, 72eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  i )  e.  CC )
7413peano2zd 10136 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  e.  ZZ )
75 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
76 1e0p1 10168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7776fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
7875, 77eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
7978eleq2i 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
80 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8180adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
82 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) ) )
83 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ (
n  -  1 ) ) )
8482, 83oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 ( n  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
n  -  1 ) ) ) )
8584oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  - 
1 )  ->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
86 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )
87 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  e.  _V
8885, 86, 87fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  (
n  -  1 ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
8981, 88syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  (
n  -  1 ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
90 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
91 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9291adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
93 nn0ex 9987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  e.  _V
9493mptex 5762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  _V
9594shftval 11585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) `
 n )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 ( n  - 
1 ) ) )
9690, 92, 95sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) 
shift  1 ) `  n
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  (
n  -  1 ) ) )
97 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  m ) )
9881, 11syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9921adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN0
--> CC )
100 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
10199, 100, 67syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
10297, 98, 101fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  ( n  -  1
) ) )
103 expm1t 11146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ n
)  =  ( ( X ^ ( n  -  1 ) )  x.  X ) )
10427, 103sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ n )  =  ( ( X ^
( n  -  1 ) )  x.  X
) )
10527adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  CC )
106 expcl 11137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( n  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( X ^ (
n  -  1 ) )  e.  CC )
10727, 80, 106syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
108105, 107mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( X ^
( n  -  1 ) ) )  =  ( ( X ^
( n  -  1 ) )  x.  X
) )
109104, 108eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X ^ n )  =  ( X  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) )
110102, 109oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ n
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 ( n  - 
1 ) )  x.  ( X  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
111 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
112111adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
113 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
114113oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )
115114sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m ) )
116115, 15oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ n ) ) )
117 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ n
) )  e.  _V
118116, 60, 117fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) )
119112, 118syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) )
120 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  (
n  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
12137, 80, 120syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
122105, 121, 107mul12d 9037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  (
n  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  ( n  -  1
) )  x.  ( X  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
123110, 119, 1223eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  ( n  -  1
) )  x.  ( X ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
12489, 96, 1233eqtr4d 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) 
shift  1 ) `  n
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) )
12579, 124sylan2br 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) 
shift  1 ) `  n
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) )
12674, 125seqfeq 11087 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  =  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
127 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )
128127, 58oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 i )  x.  ( X ^ i
) ) )
129 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i )  x.  ( X ^ i ) )  e.  _V
130128, 33, 129fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )
131130adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )
132 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
13337, 132sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
134133, 71mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) )  e.  CC )
135131, 134eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i )  e.  CC )
136128oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
137 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) )  e.  _V
138136, 86, 137fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
139138adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
140131oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( X  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i ) )  =  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  x.  ( X ^ i ) ) ) )
141139, 140eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( X  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  i ) ) )
14211, 13, 27, 50, 135, 141isermulc2 12147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
143 1z 10069 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
14494isershft 12153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
14512, 143, 144mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
146142, 145sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( ( k  e.  NN0  |->  ( X  x.  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  shift  1 ) )  ~~>  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
147126, 146eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
14811, 54, 73, 147clim2ser2 12145 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
) ) )
149 seq1 11075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 ) )
15012, 149ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 )
151 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
152151oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) )
153 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
154 ltm1 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
155153, 154ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  -  1 )  <  0
156 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
15712, 156ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
158 fzn 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) ) )
15912, 157, 158mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) )
160155, 159mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/)
161152, 160syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  0  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  (/) )
162161sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  sum_ m  e.  (/)  ( A `  m ) )
163 sum0 12210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ m  e.  (/)  ( A `  m )  =  0
164162, 163syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  =  0 )
165 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ 0 ) )
166164, 165oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) ) )
167 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  x.  ( X ^
0 ) )  e. 
_V
168166, 60, 167fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 )  =  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) ) )
16953, 168ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ` 
0 )  =  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) )
170150, 169eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  0
)  =  ( 0  x.  ( X ^
0 ) )
171 expcl 11137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 0 )  e.  CC )
17227, 53, 171sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  CC )
173172mul02d 9026 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( X ^ 0 ) )  =  0 )
174170, 173syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 0 )  =  0 )
175174oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 0 ) )  =  ( ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  0 ) )
17611, 13, 36, 40, 49isumcl 12240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
17727, 176mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
178177addid1d 9028 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  0 )  =  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
179175, 178eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 0 ) )  =  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
180148, 179breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
18111, 13, 135serf 11090 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
182 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC 
/\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  e.  CC )
183181, 182sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 i )  e.  CC )
18411, 13, 73serf 11090 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
185 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC 
/\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 i )  e.  CC )
186184, 185sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  e.  CC )
187 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
188187, 11syl6eleq 2386 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
189 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ph )
190 elfznn0 10838 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... i )  ->  n  e.  NN0 )
19136, 40eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
192189, 190, 191syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  e.  CC )
193118adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) )
194 fzfid 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( n  - 
1 ) )  e. 
Fin )
19521adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
196195, 100, 67syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
197194, 196fsumcl 12222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  e.  CC )
198197, 29mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
199193, 198eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  e.  CC )
200189, 190, 199syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
201 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  m ) )
202 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
203202, 11syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
204 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 0 ... n )  ->  m  e.  NN0 )
205195, 204, 67syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
206201, 203, 205fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... n
) ( A `  m )  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n ) )
207 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( A `  m )  =  ( A `  n ) )
208203, 205, 207fsumm1 12232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... n
) ( A `  m )  =  (
sum_ m  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  +  ( A `  n ) ) )
209206, 208eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `
 m )  +  ( A `  n
) ) )
210209oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  -  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  +  ( A `  n ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m ) ) )
211197, 23pncan2d 9175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  +  ( A `  n ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m ) )  =  ( A `
 n ) )
212210, 211eqtr2d 2329 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m ) ) )
213212oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  ( ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( A `  m
) )  x.  ( X ^ n ) ) )
21439, 197, 29subdird 9252 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m ) )  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
215213, 214eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  ( ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) ) )
21636, 193oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n )  -  (
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n ) )  =  ( ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( A `  m )  x.  ( X ^
n ) ) ) )
217215, 20, 2163eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  -  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
218189, 190, 217syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  -  ( ( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `
 m )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
219188, 192, 200, 218sersub 11105 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  =  ( (  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
)  -  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( k  -  1 ) ) ( A `  m
)  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  i
) ) )
22011, 13, 50, 52, 180, 183, 186, 219climsub 12123 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  ~~>  ( sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( X  x.  sum_ n  e. 
NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
22190a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
222221, 27, 176subdird 9252 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( ( 1  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  -  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
223176mulid2d 8869 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
224223oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x. 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  -  ( X  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  -  ( X  x.  sum_ n  e. 
NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
225222, 224eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  -  ( X  x.  sum_
n  e.  NN0  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
226220, 225breqtrrd 4065 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  ~~>  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
22711, 13, 20, 30, 226isumclim 12236 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
22810, 227eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062   ^cexp 11120    shift cshi 11577   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174   ballcbl 16387
This theorem is referenced by:  abelthlem7  19830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391
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