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Theorem abelthlem6 19828
 Description: Lemma for abelth 19833. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1
abelth.2
abelth.3
abelth.4
abelth.5
abelth.6
abelth.7
abelthlem6.1
Assertion
Ref Expression
abelthlem6
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)

Proof of Theorem abelthlem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelthlem6.1 . . . 4
2 eldifi 3311 . . . 4
31, 2syl 15 . . 3
4 oveq1 5881 . . . . . 6
54oveq2d 5890 . . . . 5
65sumeq2sdv 12193 . . . 4
7 abelth.6 . . . 4
8 sumex 12176 . . . 4
96, 7, 8fvmpt 5618 . . 3
103, 9syl 15 . 2
11 nn0uz 10278 . . 3
12 0z 10051 . . . 4
1312a1i 10 . . 3
14 fveq2 5541 . . . . . 6
15 oveq2 5882 . . . . . 6
1614, 15oveq12d 5892 . . . . 5
17 eqid 2296 . . . . 5
18 ovex 5899 . . . . 5
1916, 17, 18fvmpt 5618 . . . 4
21 abelth.1 . . . . 5
22 ffvelrn 5679 . . . . 5
2321, 22sylan 457 . . . 4
24 abelth.5 . . . . . . 7
25 ssrab2 3271 . . . . . . 7
2624, 25eqsstri 3221 . . . . . 6
2726, 3sseldi 3191 . . . . 5
28 expcl 11137 . . . . 5
2927, 28sylan 457 . . . 4
3023, 29mulcld 8871 . . 3
31 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
3231, 15oveq12d 5892 . . . . . . . 8
33 eqid 2296 . . . . . . . 8
34 ovex 5899 . . . . . . . 8
3532, 33, 34fvmpt 5618 . . . . . . 7
3635adantl 452 . . . . . 6
3711, 13, 23serf 11090 . . . . . . . 8
38 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
3937, 38sylan 457 . . . . . . 7
4039, 29mulcld 8871 . . . . . 6
41 abelth.2 . . . . . . . . . 10
42 abelth.3 . . . . . . . . . 10
43 abelth.4 . . . . . . . . . 10
4421, 41, 42, 43, 24abelthlem2 19824 . . . . . . . . 9
4544simprd 449 . . . . . . . 8
4645, 1sseldd 3194 . . . . . . 7
47 abelth.7 . . . . . . . 8
4821, 41, 42, 43, 24, 7, 47abelthlem5 19827 . . . . . . 7
4946, 48mpdan 649 . . . . . 6
5011, 13, 36, 40, 49isumclim2 12237 . . . . 5
51 seqex 11064 . . . . . 6
5251a1i 10 . . . . 5
53 0nn0 9996 . . . . . . . 8
5453a1i 10 . . . . . . 7
55 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13
5655oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
5756sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . 11
58 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11
5957, 58oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10
60 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
61 ovex 5899 . . . . . . . . . 10
6259, 60, 61fvmpt 5618 . . . . . . . . 9
6362adantl 452 . . . . . . . 8
64 fzfid 11051 . . . . . . . . . 10
6521adantr 451 . . . . . . . . . . 11
66 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . 11
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
6865, 66, 67syl2an 463 . . . . . . . . . 10
6964, 68fsumcl 12222 . . . . . . . . 9
70 expcl 11137 . . . . . . . . . 10
7127, 70sylan 457 . . . . . . . . 9
7269, 71mulcld 8871 . . . . . . . 8
7363, 72eqeltrd 2370 . . . . . . 7
7413peano2zd 10136 . . . . . . . . 9
75 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . 12
76 1e0p1 10168 . . . . . . . . . . . . 13
7776fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . 12
7875, 77eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11
7978eleq2i 2360 . . . . . . . . . 10
80 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . 13
8180adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
82 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 83oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14
8584oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13
86 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
87 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13
8885, 86, 87fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12
8981, 88syl 15 . . . . . . . . . . 11
90 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12
91 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . 13
9291adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
93 nn0ex 9987 . . . . . . . . . . . . . 14
9493mptex 5762 . . . . . . . . . . . . 13
9594shftval 11585 . . . . . . . . . . . 12
9690, 92, 95sylancr 644 . . . . . . . . . . 11
97 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . 14
9881, 11syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . 14
9921adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
100 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . 15
10199, 100, 67syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14
10297, 98, 101fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . 13
103 expm1t 11146 . . . . . . . . . . . . . . 15
10427, 103sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
10527adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
106 expcl 11137 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10727, 80, 106syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
108105, 107mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . 14
109104, 108eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13
110102, 109oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12
111 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14
112111adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
113 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114113oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115, 15oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14
117 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14
118116, 60, 117fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . 13
119112, 118syl 15 . . . . . . . . . . . 12
120 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
12137, 80, 120syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13
122105, 121, 107mul12d 9037 . . . . . . . . . . . 12
123110, 119, 1223eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11
12489, 96, 1233eqtr4d 2338 . . . . . . . . . 10
12579, 124sylan2br 462 . . . . . . . . 9
12674, 125seqfeq 11087 . . . . . . . 8
127 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14
128127, 58oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13
129 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13
130128, 33, 129fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12
131130adantl 452 . . . . . . . . . . 11
132 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
13337, 132sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
134133, 71mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11
135131, 134eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10
136128oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13
137 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13
138136, 86, 137fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12
139138adantl 452 . . . . . . . . . . 11
140131oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
141139, 140eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10
14211, 13, 27, 50, 135, 141isermulc2 12147 . . . . . . . . 9
143 1z 10069 . . . . . . . . . 10
14494isershft 12153 . . . . . . . . . 10
14512, 143, 144mp2an 653 . . . . . . . . 9
146142, 145sylib 188 . . . . . . . 8
147126, 146eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7
14811, 54, 73, 147clim2ser2 12145 . . . . . 6
149 seq1 11075 . . . . . . . . . . 11
15012, 149ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
151 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152151oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154 ltm1 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
155153, 154ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
156 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15712, 156ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
158 fzn 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15912, 157, 158mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160155, 159mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
161152, 160syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15
162161sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . 14
163 sum0 12210 . . . . . . . . . . . . . 14
164162, 163syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13
165 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13
166164, 165oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12
167 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12
168166, 60, 167fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11
16953, 168ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
170150, 169eqtri 2316 . . . . . . . . 9
171 expcl 11137 . . . . . . . . . . 11
17227, 53, 171sylancl 643 . . . . . . . . . 10
173172mul02d 9026 . . . . . . . . 9
174170, 173syl5eq 2340 . . . . . . . 8
175174oveq2d 5890 . . . . . . 7
17611, 13, 36, 40, 49isumcl 12240 . . . . . . . . 9
17727, 176mulcld 8871 . . . . . . . 8
178177addid1d 9028 . . . . . . 7
179175, 178eqtrd 2328 . . . . . 6
180148, 179breqtrd 4063 . . . . 5
18111, 13, 135serf 11090 . . . . . 6
182 ffvelrn 5679 . . . . . 6
183181, 182sylan 457 . . . . 5
18411, 13, 73serf 11090 . . . . . 6
185 ffvelrn 5679 . . . . . 6
186184, 185sylan 457 . . . . 5
187 simpr 447 . . . . . . 7
188187, 11syl6eleq 2386 . . . . . 6
189 simpl 443 . . . . . . 7
190 elfznn0 10838 . . . . . . 7
19136, 40eqeltrd 2370 . . . . . . 7
192189, 190, 191syl2an 463 . . . . . 6
193118adantl 452 . . . . . . . 8
194 fzfid 11051 . . . . . . . . . 10
19521adantr 451 . . . . . . . . . . 11
196195, 100, 67syl2an 463 . . . . . . . . . 10
197194, 196fsumcl 12222 . . . . . . . . 9
198197, 29mulcld 8871 . . . . . . . 8
199193, 198eqeltrd 2370 . . . . . . 7
200189, 190, 199syl2an 463 . . . . . 6
201 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . 14
202 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
203202, 11syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . 14
204 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . 15
205195, 204, 67syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14
206201, 203, 205fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . 13
207 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14
208203, 205, 207fsumm1 12232 . . . . . . . . . . . . 13
209206, 208eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12
210209oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11
211197, 23pncan2d 9175 . . . . . . . . . . 11
212210, 211eqtr2d 2329 . . . . . . . . . 10
213212oveq1d 5889 . . . . . . . . 9
21439, 197, 29subdird 9252 . . . . . . . . 9
215213, 214eqtrd 2328 . . . . . . . 8
21636, 193oveq12d 5892 . . . . . . . 8
217215, 20, 2163eqtr4d 2338 . . . . . . 7
218189, 190, 217syl2an 463 . . . . . 6
219188, 192, 200, 218sersub 11105 . . . . 5
22011, 13, 50, 52, 180, 183, 186, 219climsub 12123 . . . 4
22190a1i 10 . . . . . 6
222221, 27, 176subdird 9252 . . . . 5
223176mulid2d 8869 . . . . . 6
224223oveq1d 5889 . . . . 5
225222, 224eqtrd 2328 . . . 4
226220, 225breqtrrd 4065 . . 3
22711, 13, 20, 30, 226isumclim 12236 . 2
22810, 227eqtrd 2328 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   wss 3165  c0 3468  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798   cseq 11062  cexp 11120   cshi 11577  cabs 11735   cli 11974  csu 12174  cbl 16387 This theorem is referenced by:  abelthlem7  19830 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391
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