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Theorem abelthlem8 20215
Description: Lemma for abelth 20217. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
Assertion
Ref Expression
abelthlem8  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z, M    R, n, w, x, y, z    A, n, w, x, y, z    ph, n, w, x, y    w, F, y    S, n, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem8
Dummy variables  i 
j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10445 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10218 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  0  e.  ZZ )
4 id 20 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR+ )
5 abelth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
6 abelth.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
75, 6ge0p1rpd 10599 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
8 rpdivcl 10559 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  ( M  +  1 )  e.  RR+ )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
94, 7, 8syl2anr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
10 eqidd 2381 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )
11 abelth.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  seq  0
(  +  ,  A
)  ~~>  0 )
131, 3, 9, 10, 12climi0 12226 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
149adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
15 fzfid 11232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin )
162a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
17 abelth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
1817ffvelrnda 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN0 )  ->  ( A `  w )  e.  CC )
191, 16, 18serf 11271 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
20 elfznn0 11008 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) )  ->  i  e.  NN0 )
21 ffvelrn 5800 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
2219, 20, 21syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
2322abscld 12158 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  e.  RR )
2415, 23fsumrecl 12448 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR )
2524ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR )
2622absge0d 12166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2715, 23, 26fsumge0 12494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2827ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  0  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2925, 28ge0p1rpd 10599 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 )  e.  RR+ )
3014, 29rpdivcld 10590 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
31 abelth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
32 abelth.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
3317, 31, 5, 6, 32abelthlem2 20208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
3433simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
35 oveq1 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
36 nn0z 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
37 1exp 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
3935, 38sylan9eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x ^ n
)  =  1 )
4039oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) )  =  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
4140sumeq2dv 12417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
42 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
43 sumex 12401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 )  e.  _V
4441, 42, 43fvmpt 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  S  ->  ( F `  1 )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
4534, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
4617ffvelrnda 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
4746mulid1d 9031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
4847eqcomd 2385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  =  ( ( A `  n
)  x.  1 ) )
4947, 46eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  e.  CC )
501, 16, 48, 49, 11isumclim 12461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  0 )
5145, 50eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  0 )
5251adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  =  0 )
5352oveq1d 6028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) )  =  ( 0  -  ( F `  y
) ) )
54 df-neg 9219 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  y )  =  ( 0  -  ( F `  y
) )
5553, 54syl6eqr 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) )  =  -u ( F `  y ) )
5655fveq2d 5665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  -u ( F `  y )
) )
5717, 31, 5, 6, 32, 42abelthlem4 20210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
5857ffvelrnda 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
5958absnegd 12171 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  -u ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  y )
) )
6056, 59eqtrd 2412 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
6160adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
6261ad2ant2r 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( F `  y
) ) )
63 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
64 fveq2 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  ( F `  y )  =  ( F ` 
1 ) )
6564, 51sylan9eqr 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( F `  y )  =  0 )
6665abs00bd 12016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  0 )
6763, 66sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  =  0 )
68 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  R  e.  RR+ )
6968rpgt0d 10576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  0  <  R
)
7069adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  0  <  R )
7167, 70eqbrtrd 4166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <  R
)
7217ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A : NN0 --> CC )
7331ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e.  dom  ~~>  )
745ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  M  e.  RR )
756ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  0  <_  M
)
7611ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
77 simprll 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  e.  S
)
78 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  =/=  1
)
79 eldifsn 3863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( S  \  { 1 } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  1
) )
8077, 78, 79sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )
819ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( R  / 
( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
82 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
83 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
84 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )
8584fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  =  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  m )
) )
8685breq1d 4156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  <->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 m ) )  <  ( R  / 
( M  +  1 ) ) ) )
8786cbvralv 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
8883, 87sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
89 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )
90 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )
9190fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  =  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
) )
9291cbvsumv 12410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)
9392oveq1i 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 )
9493oveq2i 6024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  =  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
9589, 94syl6breq 4185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
9672, 73, 74, 75, 32, 42, 76, 80, 81, 82, 88, 95abelthlem7 20214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  / 
( M  +  1 ) ) ) )
97 rpcn 10545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  CC )
9897adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  R  e.  CC )
997adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
10099rpcnd 10575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
10199rpne0d 10578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  =/=  0 )
10298, 100, 101divcan2d 9717 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  / 
( M  +  1 ) ) )  =  R )
103102ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  /  ( M  +  1 ) ) )  =  R )
10496, 103breqtrd 4170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  R )
105104anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =/=  1
)  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <  R
)
10671, 105pm2.61dane 2621 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  R )
10762, 106eqbrtrd 4166 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )
108107expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )
109108ralrimiva 2725 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )
110 breq2 4150 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  <->  ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  (
( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )
111110imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  (
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )  <-> 
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) ) )
112111ralbidv 2662 . . . 4  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) ) )
113112rspcev 2988 . . 3  |-  ( ( ( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
11430, 109, 113syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
11513, 114rexlimddv 2770 1  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646    \ cdif 3253    C_ wss 3256   {csn 3750   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   dom cdm 4811    o. ccom 4815   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216   -ucneg 9217    / cdiv 9602   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   RR+crp 10537   ...cfz 10968    seq cseq 11243   ^cexp 11302   abscabs 11959    ~~> cli 12198   sum_csu 12399   ballcbl 16607
This theorem is referenced by:  abelthlem9  20216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-xadd 10636  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614
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