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Theorem abelthlem8 20386
Description: Lemma for abelth 20388. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
Assertion
Ref Expression
abelthlem8  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z, M    R, n, w, x, y, z    A, n, w, x, y, z    ph, n, w, x, y    w, F, y    S, n, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem8
Dummy variables  i 
j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10551 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10324 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  0  e.  ZZ )
4 id 21 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR+ )
5 abelth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
6 abelth.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
75, 6ge0p1rpd 10705 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
8 rpdivcl 10665 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  ( M  +  1 )  e.  RR+ )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
94, 7, 8syl2anr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
10 eqidd 2443 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )
11 abelth.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
1211adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  seq  0
(  +  ,  A
)  ~~>  0 )
131, 3, 9, 10, 12climi0 12337 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
149adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
15 fzfid 11343 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin )
162a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
17 abelth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
1817ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN0 )  ->  ( A `  w )  e.  CC )
191, 16, 18serf 11382 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
20 elfznn0 11114 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) )  ->  i  e.  NN0 )
21 ffvelrn 5897 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
2219, 20, 21syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
2322abscld 12269 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  e.  RR )
2415, 23fsumrecl 12559 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR )
2524ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR )
2622absge0d 12277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2715, 23, 26fsumge0 12605 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2827ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  0  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2925, 28ge0p1rpd 10705 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 )  e.  RR+ )
3014, 29rpdivcld 10696 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
31 abelth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
32 abelth.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
3317, 31, 5, 6, 32abelthlem2 20379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
3433simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
35 oveq1 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
36 nn0z 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
37 1exp 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
3935, 38sylan9eq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x ^ n
)  =  1 )
4039oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) )  =  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
4140sumeq2dv 12528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
42 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
43 sumex 12512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 )  e.  _V
4441, 42, 43fvmpt 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  S  ->  ( F `  1 )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
4534, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
4617ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
4746mulid1d 9136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
4847eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  =  ( ( A `  n
)  x.  1 ) )
4947, 46eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  e.  CC )
501, 16, 48, 49, 11isumclim 12572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  0 )
5145, 50eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  0 )
5251adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  =  0 )
5352oveq1d 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) )  =  ( 0  -  ( F `  y
) ) )
54 df-neg 9325 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  y )  =  ( 0  -  ( F `  y
) )
5553, 54syl6eqr 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) )  =  -u ( F `  y ) )
5655fveq2d 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  -u ( F `  y )
) )
5717, 31, 5, 6, 32, 42abelthlem4 20381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
5857ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
5958absnegd 12282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  -u ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  y )
) )
6056, 59eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
6160adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
6261ad2ant2r 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( F `  y
) ) )
63 simplll 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
64 fveq2 5757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  ( F `  y )  =  ( F ` 
1 ) )
6564, 51sylan9eqr 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( F `  y )  =  0 )
6665abs00bd 12127 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  0 )
6763, 66sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  =  0 )
68 simpllr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  R  e.  RR+ )
6968rpgt0d 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  0  <  R
)
7069adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  0  <  R )
7167, 70eqbrtrd 4257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <  R
)
7217ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A : NN0 --> CC )
7331ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e.  dom  ~~>  )
745ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  M  e.  RR )
756ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  0  <_  M
)
7611ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
77 simprll 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  e.  S
)
78 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  =/=  1
)
79 eldifsn 3951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( S  \  { 1 } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  1
) )
8077, 78, 79sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )
819ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( R  / 
( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
82 simplrl 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
83 simplrr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
84 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )
8584fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  =  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  m )
) )
8685breq1d 4247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  <->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 m ) )  <  ( R  / 
( M  +  1 ) ) ) )
8786cbvralv 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
8883, 87sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
89 simprlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )
90 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )
9190fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  =  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
) )
9291cbvsumv 12521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)
9392oveq1i 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 )
9493oveq2i 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  =  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
9589, 94syl6breq 4276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
9672, 73, 74, 75, 32, 42, 76, 80, 81, 82, 88, 95abelthlem7 20385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  / 
( M  +  1 ) ) ) )
97 rpcn 10651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  CC )
9897adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  R  e.  CC )
997adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
10099rpcnd 10681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
10199rpne0d 10684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  =/=  0 )
10298, 100, 101divcan2d 9823 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  / 
( M  +  1 ) ) )  =  R )
103102ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  /  ( M  +  1 ) ) )  =  R )
10496, 103breqtrd 4261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  R )
105104anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =/=  1
)  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <  R
)
10671, 105pm2.61dane 2688 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  R )
10762, 106eqbrtrd 4257 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )
108107expr 600 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )
109108ralrimiva 2795 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )
110 breq2 4241 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  <->  ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  (
( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )
111110imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  (
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )  <-> 
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) ) )
112111ralbidv 2731 . . . 4  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) ) )
113112rspcev 3058 . . 3  |-  ( ( ( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
11430, 109, 113syl2anc 644 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
11513, 114rexlimddv 2840 1  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   E.wrex 2712   {crab 2715    \ cdif 3303    C_ wss 3306   {csn 3838   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   dom cdm 4907    o. ccom 4911   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024    x. cmul 9026    < clt 9151    <_ cle 9152    - cmin 9322   -ucneg 9323    / cdiv 9708   NN0cn0 10252   ZZcz 10313   ZZ>=cuz 10519   RR+crp 10643   ...cfz 11074    seq cseq 11354   ^cexp 11413   abscabs 12070    ~~> cli 12309   sum_csu 12510   ballcbl 16719
This theorem is referenced by:  abelthlem9  20387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-xadd 10742  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728
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