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Theorem abelthlem8 19831
Description: Lemma for abelth 19833. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
Assertion
Ref Expression
abelthlem8  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z, M    R, n, w, x, y, z    A, n, w, x, y, z    ph, n, w, x, y    w, F, y    S, n, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem8
Dummy variables  i 
j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10278 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10051 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  0  e.  ZZ )
4 id 19 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR+ )
5 abelth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
6 abelth.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
75, 6ge0p1rpd 10432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
8 rpdivcl 10392 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  ( M  +  1 )  e.  RR+ )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
94, 7, 8syl2anr 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
10 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )
11 abelth.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
1211adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  seq  0
(  +  ,  A
)  ~~>  0 )
131, 3, 9, 10, 12climi0 12002 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
149adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
15 fzfid 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin )
162a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
17 abelth.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
18 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  w  e.  NN0 )  -> 
( A `  w
)  e.  CC )
1917, 18sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN0 )  ->  ( A `  w )  e.  CC )
201, 16, 19serf 11090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
21 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) )  ->  i  e.  NN0 )
22 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
2320, 21, 22syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
2423abscld 11934 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  e.  RR )
2515, 24fsumrecl 12223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR )
2625ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR )
2723absge0d 11942 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2815, 24, 27fsumge0 12269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2928ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  0  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
3026, 29ge0p1rpd 10432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 )  e.  RR+ )
3114, 30rpdivcld 10423 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
32 abelth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
33 abelth.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
3417, 32, 5, 6, 33abelthlem2 19824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
3534simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
36 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
37 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
38 1exp 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
4036, 39sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x ^ n
)  =  1 )
4140oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) )  =  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
4241sumeq2dv 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
43 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
44 sumex 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 )  e.  _V
4542, 43, 44fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  S  ->  ( F `  1 )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
4635, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
47 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( A `  n
)  e.  CC )
4817, 47sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
4948mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
5049eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  =  ( ( A `  n
)  x.  1 ) )
5149, 48eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  e.  CC )
521, 16, 50, 51, 11isumclim 12236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  0 )
5346, 52eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  0 )
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  =  0 )
5554oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) )  =  ( 0  -  ( F `  y
) ) )
56 df-neg 9056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u ( F `  y )  =  ( 0  -  ( F `  y
) )
5755, 56syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) )  =  -u ( F `  y ) )
5857fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  -u ( F `  y )
) )
5917, 32, 5, 6, 33, 43abelthlem4 19826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
60 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : S --> CC  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
6159, 60sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
6261absnegd 11947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  -u ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  y )
) )
6358, 62eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
6463adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
6564ad2ant2r 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( F `  y
) ) )
66 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
67 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  1  ->  ( F `  y )  =  ( F ` 
1 ) )
6867, 53sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( F `  y )  =  0 )
6968fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  0
) )
70 abs0 11786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  0 )  =  0
7169, 70syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  0 )
7266, 71sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  =  0 )
73 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  R  e.  RR+ )
7473rpgt0d 10409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  0  <  R
)
7574adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  0  <  R )
7672, 75eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <  R
)
7717ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A : NN0 --> CC )
7832ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e.  dom  ~~>  )
795ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  M  e.  RR )
806ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  0  <_  M
)
8111ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
82 simprll 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  e.  S
)
83 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  =/=  1
)
84 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( S  \  { 1 } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  1
) )
8582, 83, 84sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )
869ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( R  / 
( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
87 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
88 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
89 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )
9089fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  =  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  m )
) )
9190breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  <->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 m ) )  <  ( R  / 
( M  +  1 ) ) ) )
9291cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
9388, 92sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
94 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )
95 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  n  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )
9695fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  i )
)  =  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
) )
9796cbvsumv 12185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)
9897oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 )
9998oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  =  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
10094, 99syl6breq 4078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
10177, 78, 79, 80, 33, 43, 81, 85, 86, 87, 93, 100abelthlem7 19830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  / 
( M  +  1 ) ) ) )
102 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  CC )
103102adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  R  e.  CC )
1047adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
105104rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
106104rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  =/=  0 )
107103, 105, 106divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  / 
( M  +  1 ) ) )  =  R )
108107ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  /  ( M  +  1 ) ) )  =  R )
109101, 108breqtrd 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  R )
110109anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =/=  1
)  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <  R
)
11176, 110pm2.61dane 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  R )
11265, 111eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )
113112expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )
114113ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )
115 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  <->  ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  (
( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )
116115imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  (
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )  <-> 
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) ) )
117116ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) ) )
118117rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
11931, 114, 118syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
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 y ) ) )  <  R ) )
120119expr 598 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
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w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
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) ) )
121120rexlimdva 2680 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  R
) ) )
12213, 121mpd 14 1  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174   ballcbl 16387
This theorem is referenced by:  abelthlem9  19832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391
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