Theorem abfii3 4543

Description: Two ways to express the collection of finite intersections of a set A.

Hypothesis

Ref	Expression
abfii2.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
abfii3	|- |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem abfii3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 2462	. . . . . 6 |- (w e. A -> {w} (_ A)
2		snfi 4419	. . . . . . 7 |- E.z e. om {w} ~~ z
3		eqid 1473	. . . . . . 7 |- w = w
4		snex 2745	. . . . . . . 8 |- {w} e. V
5		sseq1 2078	. . . . . . . . 9 |- (y = {w} -> (y (_ A <-> {w} (_ A))
6		breq1 2617	. . . . . . . . . 10 |- (y = {w} -> (y ~~ z <-> {w} ~~ z))
7	6	rexbidv 1661	. . . . . . . . 9 |- (y = {w} -> (E.z e. om y ~~ z <-> E.z e. om {w} ~~ z))
8		inteq 2531	. . . . . . . . . . 11 |- (y = {w} -> |^|y = |^|{w})
9		visset 1809	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. V
10	9	intsn 2559	. . . . . . . . . . 11 |- |^|{w} = w
11	8, 10	syl6eq 1520	. . . . . . . . . 10 |- (y = {w} -> |^|y = w)
12	11	eqeq2d 1483	. . . . . . . . 9 |- (y = {w} -> (w = |^|y <-> w = w))
13	5, 7, 12	3anbi123d 891	. . . . . . . 8 |- (y = {w} -> ((y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y) <-> ({w} (_ A /\ E.z e. om {w} ~~ z /\ w = w)))
14	4, 13	cla4ev 1865	. . . . . . 7 |- (({w} (_ A /\ E.z e. om {w} ~~ z /\ w = w) -> E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y))
15	2, 3, 14	mp3an23 906	. . . . . 6 |- ({w} (_ A -> E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y))
16	1, 15	syl 10	. . . . 5 |- (w e. A -> E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y))
17		eqeq1 1478	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (x = |^|y <-> w = |^|y))
18	17	3anbi3d 897	. . . . . . 7 |- (x = w -> ((y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y) <-> (y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y)))
19	18	exbidv 1277	. . . . . 6 |- (x = w -> (E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y) <-> E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y)))
20	9, 19	elab 1893	. . . . 5 |- (w e. {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)} <-> E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ w = |^|y))
21	16, 20	sylibr 200	. . . 4 |- (w e. A -> w e. {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)})
22	21	ssriv 2065	. . 3 |- A (_ {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)}
23		abfii2.1	. . . 4 |- A e. V
24	23	abfii2 4542	. . 3 |- {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}
25	22, 24	sseqtr 2089	. 2 |- A (_ |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}
26		intmin4 2554	. 2 |- (A (_ |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)} -> |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)})
27	25, 26	ax-mp 7	1 |- |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461   =/= wne 1582  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043  (/)c0 2276  {csn 2405  |^|cint 2528   class class class wbr 2614  omcom 3126   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  abfii4 4544  abfii5 4545

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-1o 4123  df-en 4357

Copyright terms: Public domain