Theorem abfii5 4545

Description: Two ways to express the collection of finite intersections of a set A.

Hypothesis

Ref	Expression
abfii2.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
abfii5	|- |^|{x | (A (_ x /\ A.y e. x A.z e. x (y i^i z) e. x)} = {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)}

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem abfii5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abfii2.1	. . . 4 |- A e. V
2	1	abfii4 4544	. . 3 |- |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ x /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))} = |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))}
3	1	abfii3 4543	. . 3 |- |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}
4	2, 3	eqtr 1492	. 2 |- |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ x /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}
5		abfii1 4541	. 2 |- |^|{x | (A (_ x /\ A.y e. x A.z e. x (y i^i z) e. x)} = |^|{x | (A (_ x /\ A.y((y (_ x /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x))}
6	1	abfii2 4542	. 2 |- {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)} = |^|{x | A.y((y (_ A /\ y =/= (/) /\ E.z e. om y ~~ z) -> |^|y e. x)}
7	4, 5, 6	3eqtr4 1502	1 |- |^|{x | (A (_ x /\ A.y e. x A.z e. x (y i^i z) e. x)} = {x | E.y(y (_ A /\ E.z e. om y ~~ z /\ x = |^|y)}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   i^i cin 2042   (_ wss 2043  (/)c0 2276  |^|cint 2528   class class class wbr 2614  omcom 3126   ~~ cen 4354

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-er 4251  df-en 4357

Copyright terms: Public domain