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Theorem abianfp 6708
Description: "A most fundamental fixed point theorem" of Alexander Abian (1923-1999), apparently proved in 1998. Let  G `  0  =  x,  G `  1  =  F `  x,  G `  2  =  F `  ( F `
 x ),... be the iterates of  F. The theorem reads (using our variable names): "Let  F be a mapping from a set  A into itself. Then  F has a fixed point if and only if: There exists an element  x of  A such that for every ordinal  v,  G `  v is an element of  A, and if  G `  v is not a fixed point of  F then the  G `  u's are all distinct for every ordinal  u  e.  v." See df-rdg 6660 for the  rec operation. The proof's key idea is to assume that  F does not have a fixed point, then use the Axiom of Replacement in the form of f1dmex 5963 to derive that the class of all ordinal numbers exists, contradicting onprc 4757. Our version of this theorem does not require the hypothesis that  F be a mapping. Reference: http://us2.metamath.org:88/abian-themostfixed.html. For an application of this theorem, see http://groups.google.com/group/sci.stat.math/msg/1737ee1133c24aeb for its use in a proof of Tarski's fixed point theorem. (Contributed by NM, 5-Sep-2004.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
abianfp.1  |-  A  e. 
_V
abianfp.2  |-  G  =  rec ( ( z  e.  _V  |->  ( F `
 z ) ) ,  x )
Assertion
Ref Expression
abianfp  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  <->  E. x  e.  A  A. v  e.  On  ( ( G `
 v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, v, A    z, v, F, x   
v, u, G
Allowed substitution hints:    A( z, u)    F( u)    G( x, z)

Proof of Theorem abianfp
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abianfp.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2 abianfp.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  rec ( ( z  e.  _V  |->  ( F `
 z ) ) ,  x )
31, 2abianfplem 6707 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  On  ->  (
( F `  x
)  =  x  -> 
( G `  v
)  =  x ) )
43imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( G `  v
)  =  x )
54eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( ( G `  v )  e.  A  <->  x  e.  A ) )
65biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( x  e.  A  ->  ( G `  v
)  e.  A ) )
7 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  v )  =  x  ->  ( F `  ( G `  v ) )  =  ( F `  x
) )
8 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  v )  =  x  ->  ( G `  v )  =  x )
97, 8eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  v )  =  x  ->  (
( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  <->  ( F `  x )  =  x ) )
109biimprcd 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  =  x  ->  (
( G `  v
)  =  x  -> 
( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v ) ) )
113, 10sylcom 27 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  On  ->  (
( F `  x
)  =  x  -> 
( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v ) ) )
1211imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v ) )
1312pm2.24d 137 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )
146, 13jctird 529 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( F `  x )  =  x )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( G `  v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) ) )
1514ex 424 . . . . 5  |-  ( v  e.  On  ->  (
( F `  x
)  =  x  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( G `  v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) ) ) )
1615com13 76 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F `  x
)  =  x  -> 
( v  e.  On  ->  ( ( G `  v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) ) ) )
1716ralrimdv 2787 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F `  x
)  =  x  ->  A. v  e.  On  ( ( G `  v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) ) )
1817reximia 2803 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  ->  E. x  e.  A  A. v  e.  On  ( ( G `
 v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) ) )
19 onprc 4757 . . . . 5  |-  -.  On  e.  _V
20 r19.26 2830 . . . . . 6  |-  ( A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )  <->  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  /\  A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) )
21 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  v )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  v ) ) )
22 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  v )  ->  y  =  ( G `  v ) )
2321, 22eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  v )  ->  (
( F `  y
)  =  y  <->  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v ) ) )
2423notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  v )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  y  <->  -.  ( F `  ( G `  v ) )  =  ( G `  v
) ) )
2524rspccv 3041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  (
( G `  v
)  e.  A  ->  -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v ) ) )
2625imim1d 71 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  (
( -.  ( F `
 ( G `  v ) )  =  ( G `  v
)  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  -> 
( ( G `  v )  e.  A  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) )
2726ralimdv 2777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  ( A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  ->  A. v  e.  On  ( ( G `
 v )  e.  A  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) ) )
28 ralim 2769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) )  ->  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) )
2927, 28syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  ( A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  ->  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `
 v )  =  ( G `  u
) ) ) )
3029imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y
)  =  y  /\  A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) )  ->  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `
 v )  =  ( G `  u
) ) )
3130com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y
)  =  y  /\  A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) )  ->  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `
 v )  =  ( G `  u
) ) )
32 rdgfnon 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  rec (
( z  e.  _V  |->  ( F `  z ) ) ,  x )  Fn  On
332fneq1i 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  Fn  On  <->  rec (
( z  e.  _V  |->  ( F `  z ) ) ,  x )  Fn  On )
3432, 33mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  Fn  On
35 ffnfv 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : On --> A  <->  ( G  Fn  On  /\  A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A
) )
3635biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  Fn  On  /\  A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A )  ->  G : On --> A )
3734, 36mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  G : On
--> A )
38 ssid 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  On  C_  On
3934tz7.48lem 6690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( On  C_  On  /\  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  ->  Fun  `' ( G  |`  On ) )
4038, 39mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u )  ->  Fun  `' ( G  |`  On ) )
41 fnresdm 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  On  ->  ( G  |`  On )  =  G )
4234, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  |`  On )  =  G
4342cnveqi 5039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( G  |`  On )  =  `' G
4443funeqi 5466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  `' ( G  |`  On )  <->  Fun  `' G )
4540, 44sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u )  ->  Fun  `' G )
4637, 45anim12i 550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  /\  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  -> 
( G : On --> A  /\  Fun  `' G
) )
47 df-f1 5451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : On -1-1-> A  <->  ( G : On --> A  /\  Fun  `' G ) )
4846, 47sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  /\  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  ->  G : On -1-1-> A )
49 f1dmex 5963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : On -1-1-> A  /\  A  e.  _V )  ->  On  e.  _V )
5048, 1, 49sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  /\  A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) )  ->  On  e.  _V )
5150ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  ( A. v  e.  On  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u )  ->  On  e.  _V ) )
5231, 51syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y
)  =  y  /\  A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) )  ->  On  e.  _V ) )
5352exp3acom23 1381 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  ->  ( A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  On  e.  _V ) ) )
5453imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( A. v  e.  On  ( G `  v )  e.  A  /\  A. v  e.  On  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y  ->  On  e.  _V ) )
5520, 54sylbi 188 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( F `  y
)  =  y  ->  On  e.  _V ) )
5619, 55mtoi 171 . . . 4  |-  ( A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )  ->  -.  A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y )
5756rexlimivw 2818 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )  ->  -.  A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y )
58 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
59 id 20 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
6058, 59eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  y )  =  y ) )
6160cbvrexv 2925 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  <->  E. y  e.  A  ( F `  y )  =  y )
62 dfrex2 2710 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  ( F `  y )  =  y  <->  -.  A. y  e.  A  -.  ( F `  y )  =  y )
6361, 62bitr2i 242 . . 3  |-  ( -. 
A. y  e.  A  -.  ( F `  y
)  =  y  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )
6457, 63sylib 189 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. v  e.  On  (
( G `  v
)  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v
) )  =  ( G `  v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v )  =  ( G `  u ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )
6518, 64impbii 181 1  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  <->  E. x  e.  A  A. v  e.  On  ( ( G `
 v )  e.  A  /\  ( -.  ( F `  ( G `  v )
)  =  ( G `
 v )  ->  A. u  e.  v  -.  ( G `  v
)  =  ( G `
 u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312    e. cmpt 4258   Oncon0 4573   `'ccnv 4869    |` cres 4872   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446   reccrdg 6659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660
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