Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abianfplem Structured version   Unicode version

Theorem abianfplem 6717
 Description: Lemma for abianfp 6718. We prove by transfinite induction that if has a fixed point , then its iterates also equal . This lemma is used for the "trivial" direction of the main theorem. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
abianfp.1
abianfp.2
Assertion
Ref Expression
abianfplem
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem abianfplem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5730 . . 3
21eqeq1d 2446 . 2
3 fveq2 5730 . . 3
43eqeq1d 2446 . 2
5 fveq2 5730 . . 3
65eqeq1d 2446 . 2
7 abianfp.2 . . . . 5
87fveq1i 5731 . . . 4
9 vex 2961 . . . . 5
109rdg0 6681 . . . 4
118, 10eqtri 2458 . . 3
1211a1i 11 . 2
13 fvex 5744 . . . . 5
14 fveq2 5730 . . . . . 6
15 fveq2 5730 . . . . . 6
167, 14, 15rdgsucmpt2 6690 . . . . 5
1713, 16mpan2 654 . . . 4
18 fveq2 5730 . . . . 5
19 id 21 . . . . 5
2018, 19sylan9eqr 2492 . . . 4
2117, 20sylan9eq 2490 . . 3
2221exp32 590 . 2
23 vex 2961 . . . . . . . 8
24 rdglim2a 6693 . . . . . . . 8
2523, 24mpan 653 . . . . . . 7
267fveq1i 5731 . . . . . . 7
277fveq1i 5731 . . . . . . . . 9
2827a1i 11 . . . . . . . 8
2928iuneq2i 4113 . . . . . . 7
3025, 26, 293eqtr4g 2495 . . . . . 6
3130adantr 453 . . . . 5
32 iuneq2 4111 . . . . . 6
33 df-lim 4588 . . . . . . . 8
3433simp2bi 974 . . . . . . 7
35 iunconst 4103 . . . . . . 7
3634, 35syl 16 . . . . . 6
3732, 36sylan9eqr 2492 . . . . 5
3831, 37eqtrd 2470 . . . 4
3938ex 425 . . 3
4039a1d 24 . 2
412, 4, 6, 12, 22, 40tfinds2 4845 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  cvv 2958  c0 3630  cuni 4017  ciun 4095   cmpt 4268   word 4582  con0 4583   wlim 4584   csuc 4585  cfv 5456  crdg 6669 This theorem is referenced by:  abianfp  6718 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670
 Copyright terms: Public domain W3C validator