Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1c Unicode version

Theorem ablfac1c 15322
 Description: The factors of ablfac1b 15321 cover the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b
ablfac1.o
ablfac1.s
ablfac1.g
ablfac1.f
ablfac1.1
ablfac1c.d
ablfac1.2
Assertion
Ref Expression
ablfac1c DProd
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem ablfac1c
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1.f . 2
2 ablfac1.b . . . 4
32dprdssv 15267 . . 3 DProd
43a1i 10 . 2 DProd
5 ssfi 7099 . . . . . 6 DProd DProd
61, 3, 5sylancl 643 . . . . 5 DProd
7 hashcl 11366 . . . . 5 DProd DProd
86, 7syl 15 . . . 4 DProd
9 hashcl 11366 . . . . 5
101, 9syl 15 . . . 4
11 ablfac1.o . . . . . . 7
12 ablfac1.s . . . . . . 7
13 ablfac1.g . . . . . . 7
14 ablfac1.1 . . . . . . 7
152, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1b 15321 . . . . . 6 DProd
16 dprdsubg 15275 . . . . . 6 DProd DProd SubGrp
1715, 16syl 15 . . . . 5 DProd SubGrp
182lagsubg 14695 . . . . 5 DProd SubGrp DProd
1917, 1, 18syl2anc 642 . . . 4 DProd
20 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11
21 ablfac1c.d . . . . . . . . . . 11
2220, 21elrab2 2938 . . . . . . . . . 10
23 ablfac1.2 . . . . . . . . . . 11
2423sseld 3192 . . . . . . . . . 10
2522, 24syl5bir 209 . . . . . . . . 9
2625impl 603 . . . . . . . 8
272, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1a 15320 . . . . . . . . . . 11
28 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
292, 28eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3029rabex 4181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130, 12dmmpti 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3315, 32dprdf2 15258 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
34 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp
3533, 34sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
3615adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd
3731a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
3936, 37, 38dprdub 15276 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd
4017adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd SubGrp
41 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s DProd s DProd
4241subsubg 14656 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd SubGrp SubGrps DProd SubGrp DProd
4340, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrps DProd SubGrp DProd
4435, 39, 43mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrps DProd
4541subgbas 14641 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd SubGrp DProd s DProd
4640, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd s DProd
476adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd
4846, 47eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . 13 s DProd
49 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14 s DProd s DProd
5049lagsubg 14695 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrps DProd s DProd s DProd
5144, 48, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 s DProd
5246fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12 DProd s DProd
5351, 52breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . 11 DProd
5427, 53eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . 10 DProd
5514sselda 3193 . . . . . . . . . . 11
568nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12 DProd
5756adantr 451 . . . . . . . . . . 11 DProd
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
59 ablgrp 15110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6013, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
612grpbn0 14527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16
641, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
6562, 64mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
6758, 66pccld 12919 . . . . . . . . . . . 12
6855, 67syldan 456 . . . . . . . . . . 11
69 pcdvdsb 12937 . . . . . . . . . . 11 DProd DProd DProd
7055, 57, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 DProd DProd
7154, 70mpbird 223 . . . . . . . . 9 DProd
7271adantlr 695 . . . . . . . 8 DProd
7326, 72syldan 456 . . . . . . 7 DProd
74 pceq0 12939 . . . . . . . . . 10
7558, 66, 74syl2anc 642 . . . . . . . . 9
7675biimpar 471 . . . . . . . 8
77 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877subg0cl 14645 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd SubGrp DProd
7917, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd
80 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd DProd
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
82 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd DProd DProd
836, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 DProd DProd
8481, 83mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12 DProd
8584adantr 451 . . . . . . . . . . 11 DProd
8658, 85pccld 12919 . . . . . . . . . 10 DProd
8786nn0ge0d 10037 . . . . . . . . 9 DProd
8887adantr 451 . . . . . . . 8 DProd
8976, 88eqbrtrd 4059 . . . . . . 7 DProd
9073, 89pm2.61dan 766 . . . . . 6 DProd
9190ralrimiva 2639 . . . . 5 DProd
9210nn0zd 10131 . . . . . 6
93 pc2dvds 12947 . . . . . 6 DProd DProd DProd
9492, 56, 93syl2anc 642 . . . . 5 DProd DProd
9591, 94mpbird 223 . . . 4 DProd
96 dvdseq 12592 . . . 4 DProd DProd DProd DProd
978, 10, 19, 95, 96syl22anc 1183 . . 3 DProd
98 hashen 11362 . . . 4 DProd DProd DProd
996, 1, 98syl2anc 642 . . 3 DProd DProd
10097, 99mpbid 201 . 2 DProd
101 fisseneq 7090 . 2 DProd DProd DProd
1021, 4, 100, 101syl3anc 1182 1 DProd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  crab 2560  cvv 2801   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cen 6876  cfn 6879  cc0 8753   cle 8884  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cexp 11120  chash 11353   cdivides 12547  cprime 12774   cpc 12905  cbs 13164   ↾s cress 13165  c0g 13416  cgrp 14378  SubGrpcsubg 14631  cod 14856  cabel 15106   DProd cdprd 15247 This theorem is referenced by:  ablfaclem2  15337 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-ga 14760  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-od 14860  df-lsm 14963  df-pj1 14964  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-dprd 15249
 Copyright terms: Public domain W3C validator