Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1lem Structured version   Unicode version

Theorem ablfac1lem 15616
 Description: Lemma for ablfac1b 15618. Satisfy the assumptions of ablfacrp. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b
ablfac1.o
ablfac1.s
ablfac1.g
ablfac1.f
ablfac1.1
ablfac1.m
ablfac1.n
Assertion
Ref Expression
ablfac1lem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ablfac1lem
StepHypRef Expression
1 ablfac1.m . . . 4
2 ablfac1.1 . . . . . . 7
32sselda 3340 . . . . . 6
4 prmnn 13072 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
6 ablfac1.g . . . . . . . . 9
7 ablgrp 15407 . . . . . . . . 9
8 ablfac1.b . . . . . . . . . 10
98grpbn0 14824 . . . . . . . . 9
106, 7, 93syl 19 . . . . . . . 8
11 ablfac1.f . . . . . . . . 9
12 hashnncl 11635 . . . . . . . . 9
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8
1410, 13mpbird 224 . . . . . . 7
1514adantr 452 . . . . . 6
163, 15pccld 13214 . . . . 5
175, 16nnexpcld 11534 . . . 4
181, 17syl5eqel 2519 . . 3
19 ablfac1.n . . . 4
20 pcdvds 13227 . . . . . . 7
213, 15, 20syl2anc 643 . . . . . 6
221, 21syl5eqbr 4237 . . . . 5
23 nndivdvds 12848 . . . . . 6
2415, 18, 23syl2anc 643 . . . . 5
2522, 24mpbid 202 . . . 4
2619, 25syl5eqel 2519 . . 3
2718, 26jca 519 . 2
281oveq1i 6083 . . 3
29 pcndvds2 13231 . . . . . . 7
303, 15, 29syl2anc 643 . . . . . 6
311oveq2i 6084 . . . . . . . 8
3219, 31eqtri 2455 . . . . . . 7
3332breq2i 4212 . . . . . 6
3430, 33sylnibr 297 . . . . 5
3526nnzd 10364 . . . . . 6
36 coprm 13090 . . . . . 6
373, 35, 36syl2anc 643 . . . . 5
3834, 37mpbid 202 . . . 4
39 prmz 13073 . . . . . 6
403, 39syl 16 . . . . 5
41 rpexp1i 13111 . . . . 5
4240, 35, 16, 41syl3anc 1184 . . . 4
4338, 42mpd 15 . . 3
4428, 43syl5eq 2479 . 2
4519oveq2i 6084 . . 3
4615nncnd 10006 . . . 4
4718nncnd 10006 . . . 4
4818nnne0d 10034 . . . 4
4946, 47, 48divcan2d 9782 . . 3
5045, 49syl5req 2480 . 2
5127, 44, 503jca 1134 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  crab 2701   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204   cmpt 4258  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  c1 8981   cmul 8985   cdiv 9667  cn 9990  cn0 10211  cz 10272  cexp 11372  chash 11608   cdivides 12842   cgcd 12996  cprime 13069   cpc 13200  cbs 13459  cgrp 14675  cod 15153  cabel 15403 This theorem is referenced by:  ablfac1a  15617  ablfac1b  15618 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-prm 13070  df-pc 13201  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-abl 15405
 Copyright terms: Public domain W3C validator