Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfaclem2 Unicode version

Theorem ablfaclem2 15337
 Description: Lemma for ablfac 15339. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b
ablfac.c SubGrp s CycGrp pGrp
ablfac.1
ablfac.2
ablfac.o
ablfac.a
ablfac.s
ablfac.w SubGrp Word DProd DProd
ablfaclem2.f Word
ablfaclem2.q
ablfaclem2.l
ablfaclem2.g ..^
Assertion
Ref Expression
ablfaclem2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   ()   ()   (,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,,)   (,,)

Proof of Theorem ablfaclem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac.1 . . . 4
2 ablgrp 15110 . . . 4
3 ablfac.b . . . . 5
43subgid 14639 . . . 4 SubGrp
51, 2, 43syl 18 . . 3 SubGrp
6 ablfac.c . . . 4 SubGrp s CycGrp pGrp
7 ablfac.2 . . . 4
8 ablfac.o . . . 4
9 ablfac.a . . . 4
10 ablfac.s . . . 4
11 ablfac.w . . . 4 SubGrp Word DProd DProd
123, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11ablfaclem1 15336 . . 3 SubGrp Word DProd DProd
135, 12syl 15 . 2 Word DProd DProd
14 ablfaclem2.f . . . . . . . . . . . . . 14 Word
15 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word
1614, 15sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13 Word
17 wrdf 11435 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . 12 ..^
19 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
2120feq2d 5396 . . . . . . . . . . . 12 ..^
2218, 21mpbird 223 . . . . . . . . . . 11
23 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
2422, 23sylan 457 . . . . . . . . . 10
2524anasss 628 . . . . . . . . 9
2625ralrimivva 2648 . . . . . . . 8
27 eqid 2296 . . . . . . . . 9
2827fmpt2x 6206 . . . . . . . 8
2926, 28sylib 188 . . . . . . 7
30 ablfaclem2.l . . . . . . . 8
3130feq2i 5400 . . . . . . 7
3229, 31sylibr 203 . . . . . 6
33 ablfaclem2.g . . . . . . 7 ..^
34 f1of 5488 . . . . . . 7 ..^ ..^
3533, 34syl 15 . . . . . 6 ..^
36 fco 5414 . . . . . 6 ..^ ..^
3732, 35, 36syl2anc 642 . . . . 5 ..^
38 iswrdi 11433 . . . . 5 ..^ Word
3937, 38syl 15 . . . 4 Word
40 ablfaclem2.q . . . . . . . . . . . . . . 15
4140r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . 14
42 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
439, 42eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4443a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
453, 8, 10, 1, 7, 44ablfac1b 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 DProd
46 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
473, 46eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4847rabex 4181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4948, 10dmmpti 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5145, 50dprdf2 15258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
52 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp
5351, 52sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
543, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11ablfaclem1 15336 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp Word DProd DProd
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 Word DProd DProd
5641, 55eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . 13 Word DProd DProd
57 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 DProd DProd
58 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 DProd DProd
5958eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 DProd DProd
6057, 59anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd DProd DProd DProd
6160elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . 14 Word DProd DProd Word DProd DProd
6261simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13 Word DProd DProd DProd DProd
6356, 62syl 15 . . . . . . . . . . . 12 DProd DProd
6463simpld 445 . . . . . . . . . . 11 DProd
65 dprdf 15257 . . . . . . . . . . 11 DProd SubGrp
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . 10 SubGrp
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
6866, 67sylan 457 . . . . . . . . 9 SubGrp
6968anasss 628 . . . . . . . 8 SubGrp
7066feqmptd 5591 . . . . . . . . 9
7164, 70breqtrd 4063 . . . . . . . 8 DProd
7251feqmptd 5591 . . . . . . . . . 10
7370oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12 DProd DProd
7463simprd 449 . . . . . . . . . . . 12 DProd
7573, 74eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11 DProd
7675mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . 10 DProd
7772, 76eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9 DProd
7845, 77breqtrd 4063 . . . . . . . 8 DProd DProd
7969, 71, 78dprd2d2 15295 . . . . . . 7 DProd DProd DProd DProd
8079simpld 445 . . . . . 6 DProd
81 fdm 5409 . . . . . . 7
8232, 81syl 15 . . . . . 6
8380, 82, 33dprdf1o 15283 . . . . 5 DProd DProd DProd
8483simpld 445 . . . 4 DProd
8583simprd 449 . . . . 5 DProd DProd
8679simprd 449 . . . . 5 DProd DProd DProd
8777oveq2d 5890 . . . . . 6 DProd DProd DProd
88 ssid 3210 . . . . . . . 8
8988a1i 10 . . . . . . 7
903, 8, 10, 1, 7, 44, 9, 89ablfac1c 15322 . . . . . 6 DProd
9187, 90eqtr3d 2330 . . . . 5 DProd DProd
9285, 86, 913eqtrd 2332 . . . 4 DProd
93 breq2 4043 . . . . . 6 DProd DProd
94 oveq2 5882 . . . . . . 7 DProd DProd
9594eqeq1d 2304 . . . . . 6 DProd DProd
9693, 95anbi12d 691 . . . . 5 DProd DProd DProd DProd
9796rspcev 2897 . . . 4 Word DProd DProd Word DProd DProd
9839, 84, 92, 97syl12anc 1180 . . 3 Word DProd DProd
99 rabn0 3487 . . 3 Word DProd DProd Word DProd DProd
10098, 99sylibr 203 . 2 Word DProd DProd
10113, 100eqnetrd 2477 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801   cin 3164   wss 3165  c0 3468  csn 3653  ciun 3921   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703   cdm 4705   crn 4706   ccom 4709  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cfn 6879  cc0 8753  ..^cfzo 10886  cexp 11120  chash 11353  Word cword 11419   cdivides 12547  cprime 12774   cpc 12905  cbs 13164   ↾s cress 13165  cgrp 14378  SubGrpcsubg 14631  cod 14856   pGrp cpgp 14858  cabel 15106  CycGrpccyg 15180   DProd cdprd 15247 This theorem is referenced by:  ablfaclem3  15338 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-word 11425  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-ga 14760  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-od 14860  df-lsm 14963  df-pj1 14964  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-dprd 15249
 Copyright terms: Public domain W3C validator