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Theorem ablfacrp 15629
 Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b
ablfacrp.o
ablfacrp.k
ablfacrp.l
ablfacrp.g
ablfacrp.m
ablfacrp.n
ablfacrp.1
ablfacrp.2
ablfacrp.z
ablfacrp.s
Assertion
Ref Expression
ablfacrp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6
2 ablfacrp.l . . . . . 6
31, 2ineq12i 3542 . . . . 5
4 inrab 3615 . . . . 5
53, 4eqtri 2458 . . . 4
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14
86, 7odcl 15179 . . . . . . . . . . . . 13
98adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
109nn0zd 10378 . . . . . . . . . . 11
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13
1211nnzd 10379 . . . . . . . . . . . 12
1312adantr 453 . . . . . . . . . . 11
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13
1514nnzd 10379 . . . . . . . . . . . 12
1615adantr 453 . . . . . . . . . . 11
17 dvdsgcd 13048 . . . . . . . . . . 11
1810, 13, 16, 17syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
19183impia 1151 . . . . . . . . 9
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10
21203ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
2219, 21breqtrd 4239 . . . . . . . 8
23 simp2 959 . . . . . . . . 9
24 dvds1 12903 . . . . . . . . 9
2523, 8, 243syl 19 . . . . . . . 8
2622, 25mpbid 203 . . . . . . 7
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10
28 ablgrp 15422 . . . . . . . . . 10
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9
30293ad2ant1 979 . . . . . . . 8
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9
327, 31, 6odeq1 15201 . . . . . . . 8
3330, 23, 32syl2anc 644 . . . . . . 7
3426, 33mpbid 203 . . . . . 6
35 elsn 3831 . . . . . 6
3634, 35sylibr 205 . . . . 5
3736rabssdv 3425 . . . 4
385, 37syl5eqss 3394 . . 3
397, 6oddvdssubg 15475 . . . . . . . 8 SubGrp
4027, 12, 39syl2anc 644 . . . . . . 7 SubGrp
411, 40syl5eqel 2522 . . . . . 6 SubGrp
4231subg0cl 14957 . . . . . 6 SubGrp
4341, 42syl 16 . . . . 5
447, 6oddvdssubg 15475 . . . . . . . 8 SubGrp
4527, 15, 44syl2anc 644 . . . . . . 7 SubGrp
462, 45syl5eqel 2522 . . . . . 6 SubGrp
4731subg0cl 14957 . . . . . 6 SubGrp
4846, 47syl 16 . . . . 5
49 elin 3532 . . . . 5
5043, 48, 49sylanbrc 647 . . . 4
5150snssd 3945 . . 3
5238, 51eqssd 3367 . 2
53 ablfacrp.s . . . . . 6
5453lsmsubg2 15479 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
5527, 41, 46, 54syl3anc 1185 . . . 4 SubGrp
566subgss 14950 . . . 4 SubGrp
5755, 56syl 16 . . 3
58 eqid 2438 . . . . . . . 8 .g .g
596, 58mulg1 14902 . . . . . . 7 .g
6059adantl 454 . . . . . 6 .g
61 bezout 13047 . . . . . . . . 9
6212, 15, 61syl2anc 644 . . . . . . . 8
6362adantr 453 . . . . . . 7
6420ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
6564eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9
6612ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6866, 67zmulcld 10386 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . 14
7015ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7270, 71zmulcld 10386 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . 14
7469, 73addcomd 9273 . . . . . . . . . . . . 13
7574oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12 .g .g
7629ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13
77 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13
78 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14
796, 58, 78mulgdir 14920 . . . . . . . . . . . . 13 .g .g .g
8076, 72, 68, 77, 79syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . 12 .g .g .g
8175, 80eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11 .g .g .g
8241ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
8346ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
846, 58mulgcl 14912 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
8576, 72, 77, 84syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 .g
86 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8711, 14nnmulcld 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8887nnnn0d 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8986, 88eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
90 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
916, 90eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
92 hashclb 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9489, 93sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9594ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
966, 7oddvds2 15207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9776, 95, 77, 96syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9886ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9997, 98breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1006, 7odcl 15179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101100ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102101nn0zd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10366, 70zmulcld 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104 dvdsmultr1 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105102, 103, 71, 104syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10699, 105mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
10766zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10870zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10971zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110107, 108, 109mulassd 9116 . . . . . . . . . . . . . . 15
111106, 110breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . 14
1126, 7, 58odmulgid 15195 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g
11376, 77, 72, 66, 112syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
114111, 113mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13 .g
115 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g .g
116115breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14 .g .g
117116, 1elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . 13 .g .g .g
11885, 114, 117sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12 .g
1196, 58mulgcl 14912 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
12076, 68, 77, 119syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 .g
121 dvdsmultr1 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122102, 103, 67, 121syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12399, 122mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 zcn 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125124ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126 mulass 9083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127 mul12 9237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128126, 127eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129107, 108, 125, 128syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
130123, 129breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . 14
1316, 7, 58odmulgid 15195 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g
13276, 77, 68, 70, 131syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
133130, 132mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13 .g
134 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g .g
135134breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14 .g .g
136135, 2elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . 13 .g .g .g
137120, 133, 136sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12 .g
13878, 53lsmelvali 15289 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp .g .g .g .g
13982, 83, 118, 137, 138syl22anc 1186 . . . . . . . . . . 11 .g .g
14081, 139eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10 .g
141 oveq1 6091 . . . . . . . . . . 11 .g .g
142141eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10 .g .g
143140, 142syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9 .g
14465, 143sylbid 208 . . . . . . . 8 .g
145144rexlimdvva 2839 . . . . . . 7 .g
14663, 145mpd 15 . . . . . 6 .g
14760, 146eqeltrrd 2513 . . . . 5
148147ex 425 . . . 4
149148ssrdv 3356 . . 3
15057, 149eqssd 3367 . 2
15152, 150jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  csn 3816   class class class wbr 4215  cfv 5457  (class class class)co 6084  cfn 7112  cc 8993  c1 8996   caddc 8998   cmul 9000  cn 10005  cn0 10226  cz 10287  chash 11623   cdivides 12857   cgcd 13011  cbs 13474   cplusg 13534  c0g 13728  cgrp 14690  .gcmg 14694  SubGrpcsubg 14943  cod 15168  clsm 15273  cabel 15418 This theorem is referenced by:  ablfacrp2  15630  ablfac1b  15633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-eqg 14948  df-cntz 15121  df-od 15172  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420
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