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Theorem ablfacrp 15612
Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups  K ,  L that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfacrp.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfacrp.k  |-  K  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }
ablfacrp.l  |-  L  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }
ablfacrp.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfacrp.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ablfacrp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ablfacrp.1  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
ablfacrp.2  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( M  x.  N ) )
ablfacrp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
ablfacrp.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
ablfacrp  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  L )  =  {  .0.  }  /\  ( K  .(+)  L )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, O    x, M    x, N    ph, x    x,  .0.
Allowed substitution hints:    .(+) ( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables  a 
b  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6  |-  K  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }
2 ablfacrp.l . . . . . 6  |-  L  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }
31, 2ineq12i 3532 . . . . 5  |-  ( K  i^i  L )  =  ( { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  M }  i^i  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
4 inrab 3605 . . . . 5  |-  ( { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  M }  i^i  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )  =  {
x  e.  B  | 
( ( O `  x )  ||  M  /\  ( O `  x
)  ||  N ) }
53, 4eqtri 2455 . . . 4  |-  ( K  i^i  L )  =  { x  e.  B  |  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) }
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  ( od `  G
)
86, 7odcl 15162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
98adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
109nn0zd 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1211nnzd 10363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  M  e.  ZZ )
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1514nnzd 10363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  N  e.  ZZ )
17 dvdsgcd 13031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  x )  ||  M  /\  ( O `  x
)  ||  N )  ->  ( O `  x
)  ||  ( M  gcd  N ) ) )
1810, 13, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( O `  x )  ||  M  /\  ( O `  x
)  ||  N )  ->  ( O `  x
)  ||  ( M  gcd  N ) ) )
19183impia 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( M  gcd  N
) )
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
21203ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( M  gcd  N )  =  1 )
2219, 21breqtrd 4228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( O `  x )  ||  1 )
23 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  x  e.  B )
24 dvds1 12886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  x )  e.  NN0  ->  ( ( O `  x ) 
||  1  <->  ( O `  x )  =  1 ) )
2523, 8, 243syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  (
( O `  x
)  ||  1  <->  ( O `  x )  =  1 ) )
2622, 25mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( O `  x )  =  1 )
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
28 ablgrp 15405 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
30293ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  G  e.  Grp )
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
327, 31, 6odeq1 15184 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( O `  x )  =  1  <-> 
x  =  .0.  )
)
3330, 23, 32syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  (
( O `  x
)  =  1  <->  x  =  .0.  ) )
3426, 33mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  x  =  .0.  )
35 elsn 3821 . . . . . 6  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
3634, 35sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  x  e.  {  .0.  } )
3736rabssdv 3415 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) }  C_  {  .0.  } )
385, 37syl5eqss 3384 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  C_  {  .0.  } )
397, 6oddvdssubg 15458 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }  e.  (SubGrp `  G ) )
4027, 12, 39syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }  e.  (SubGrp `  G
) )
411, 40syl5eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
4231subg0cl 14940 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  K )
4341, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
447, 6oddvdssubg 15458 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G ) )
4527, 15, 44syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G
) )
462, 45syl5eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  (SubGrp `  G ) )
4731subg0cl 14940 . . . . . 6  |-  ( L  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  L )
4846, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
49 elin 3522 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  ( K  i^i  L )  <->  (  .0.  e.  K  /\  .0.  e.  L
) )
5043, 48, 49sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( K  i^i  L ) )
5150snssd 3935 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( K  i^i  L ) )
5238, 51eqssd 3357 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  =  {  .0.  } )
53 ablfacrp.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
5453lsmsubg2 15462 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  K  e.  (SubGrp `  G )  /\  L  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K  .(+)  L )  e.  (SubGrp `  G
) )
5527, 41, 46, 54syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  .(+)  L )  e.  (SubGrp `  G
) )
566subgss 14933 . . . 4  |-  ( ( K  .(+)  L )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( K  .(+)  L ) 
C_  B )
5755, 56syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  .(+)  L ) 
C_  B )
58 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
596, 58mulg1 14885 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  B  ->  (
1 (.g `  G ) g )  =  g )
6059adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  =  g )
61 bezout 13030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) ) )
6212, 15, 61syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) ) )
6362adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) ) )
6420ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  gcd  N )  =  1 )
6564eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  <->  1  =  ( ( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) ) )
6612ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  ZZ )
67 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  a  e.  ZZ )
6866, 67zmulcld 10370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  a )  e.  ZZ )
6968zcnd 10365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  a )  e.  CC )
7015ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  ZZ )
71 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  b  e.  ZZ )
7270, 71zmulcld 10370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( N  x.  b )  e.  ZZ )
7372zcnd 10365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( N  x.  b )  e.  CC )
7469, 73addcomd 9257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  =  ( ( N  x.  b )  +  ( M  x.  a ) ) )
7574oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
)  +  ( M  x.  a ) ) (.g `  G ) g ) )
7629ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  G  e.  Grp )
77 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  g  e.  B )
78 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
796, 58, 78mulgdir 14903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( N  x.  b )  e.  ZZ  /\  ( M  x.  a
)  e.  ZZ  /\  g  e.  B )
)  ->  ( (
( N  x.  b
)  +  ( M  x.  a ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
8076, 72, 68, 77, 79syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( N  x.  b
)  +  ( M  x.  a ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
8175, 80eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
8241ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
8346ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  L  e.  (SubGrp `  G ) )
846, 58mulgcl 14895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  x.  b
)  e.  ZZ  /\  g  e.  B )  ->  ( ( N  x.  b ) (.g `  G
) g )  e.  B )
8576, 72, 77, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  b )
(.g `  G ) g )  e.  B )
86 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( M  x.  N ) )
8711, 14nnmulcld 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
8887nnnn0d 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN0 )
8986, 88eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
90 fvex 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  G )  e.  _V
916, 90eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  B  e. 
_V
92 hashclb 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
9489, 93sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
9594ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  Fin )
966, 7oddvds2 15190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  g  e.  B )  ->  ( O `  g )  ||  ( # `  B
) )
9776, 95, 77, 96syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( # `
 B ) )
9886ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( # `  B
)  =  ( M  x.  N ) )
9997, 98breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( M  x.  N )
)
1006, 7odcl 15162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  e.  B  ->  ( O `  g )  e.  NN0 )
101100ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  e.  NN0 )
102101nn0zd 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  e.  ZZ )
10366, 70zmulcld 10370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
104 dvdsmultr1 12872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( O `  g
)  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N )  ->  ( O `  g
)  ||  ( ( M  x.  N )  x.  b ) ) )
105102, 103, 71, 104syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  b ) ) )
10699, 105mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  b ) )
10766zcnd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  CC )
10870zcnd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  CC )
10971zcnd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  b  e.  CC )
110107, 108, 109mulassd 9100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  N )  x.  b )  =  ( M  x.  ( N  x.  b ) ) )
111106, 110breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( M  x.  ( N  x.  b ) ) )
1126, 7, 58odmulgid 15178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  B  /\  ( N  x.  b
)  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) )  ||  M  <->  ( O `  g )  ||  ( M  x.  ( N  x.  b ) ) ) )
11376, 77, 72, 66, 112syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( ( N  x.  b )
(.g `  G ) g ) )  ||  M  <->  ( O `  g ) 
||  ( M  x.  ( N  x.  b
) ) ) )
114111, 113mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  ( ( N  x.  b ) (.g `  G
) g ) ) 
||  M )
115 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) ) )
116115breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g )  ->  ( ( O `
 x )  ||  M 
<->  ( O `  (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) )  ||  M
) )
117116, 1elrab2 3086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g )  e.  K  <->  ( (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g )  e.  B  /\  ( O `  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) )  ||  M
) )
11885, 114, 117sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  b )
(.g `  G ) g )  e.  K )
1196, 58mulgcl 14895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  a
)  e.  ZZ  /\  g  e.  B )  ->  ( ( M  x.  a ) (.g `  G
) g )  e.  B )
12076, 68, 77, 119syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  a )
(.g `  G ) g )  e.  B )
121 dvdsmultr1 12872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( O `  g
)  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N )  ->  ( O `  g
)  ||  ( ( M  x.  N )  x.  a ) ) )
122102, 103, 67, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  a ) ) )
12399, 122mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  a ) )
124 zcn 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
125124ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  a  e.  CC )
126 mulass 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  (
( M  x.  N
)  x.  a )  =  ( M  x.  ( N  x.  a
) ) )
127 mul12 9221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( M  x.  ( N  x.  a ) )  =  ( N  x.  ( M  x.  a )
) )
128126, 127eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  (
( M  x.  N
)  x.  a )  =  ( N  x.  ( M  x.  a
) ) )
129107, 108, 125, 128syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  N )  x.  a )  =  ( N  x.  ( M  x.  a ) ) )
130123, 129breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( N  x.  ( M  x.  a ) ) )
1316, 7, 58odmulgid 15178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  B  /\  ( M  x.  a
)  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  ||  N  <->  ( O `  g )  ||  ( N  x.  ( M  x.  a ) ) ) )
13276, 77, 68, 70, 131syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( ( M  x.  a )
(.g `  G ) g ) )  ||  N  <->  ( O `  g ) 
||  ( N  x.  ( M  x.  a
) ) ) )
133130, 132mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  ( ( M  x.  a ) (.g `  G
) g ) ) 
||  N )
134 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
135134breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g )  ->  ( ( O `
 x )  ||  N 
<->  ( O `  (
( M  x.  a
) (.g `  G ) g ) )  ||  N
) )
136135, 2elrab2 3086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  x.  a
) (.g `  G ) g )  e.  L  <->  ( (
( M  x.  a
) (.g `  G ) g )  e.  B  /\  ( O `  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  ||  N
) )
137120, 133, 136sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  a )
(.g `  G ) g )  e.  L )
13878, 53lsmelvali 15272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  L  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g )  e.  K  /\  ( ( M  x.  a ) (.g `  G
) g )  e.  L ) )  -> 
( ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
13982, 83, 118, 137, 138syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
14081, 139eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
141 oveq1 6079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  =  ( ( ( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g ) )
142141eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) )  ->  (
( 1 (.g `  G
) g )  e.  ( K  .(+)  L )  <-> 
( ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) ) (.g `  G
) g )  e.  ( K  .(+)  L ) ) )
143140, 142syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( 1  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
14465, 143sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  ->  ( 1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
145144rexlimdvva 2829 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  ->  ( 1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
14663, 145mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
14760, 146eqeltrrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  ( K  .(+)  L ) )
148147ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( g  e.  B  ->  g  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
149148ssrdv 3346 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( K  .(+) 
L ) )
15057, 149eqssd 3357 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  .(+)  L )  =  B )
15152, 150jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  L )  =  {  .0.  }  /\  ( K  .(+)  L )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Fincfn 7100   CCcc 8977   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984   NNcn 9989   NN0cn0 10210   ZZcz 10271   #chash 11606    || cdivides 12840    gcd cgcd 12994   Basecbs 13457   +g cplusg 13517   0gc0g 13711   Grpcgrp 14673  .gcmg 14677  SubGrpcsubg 14926   odcod 15151   LSSumclsm 15256   Abelcabel 15401
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  15613  ablfac1b  15616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ec 6898  df-qs 6902  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-0g 13715  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-mulg 14803  df-subg 14929  df-eqg 14931  df-cntz 15104  df-od 15155  df-lsm 15258  df-cmn 15402  df-abl 15403
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