Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Unicode version

Theorem ablfacrp2 15250
 Description: The factors of ablfacrp 15249 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b
ablfacrp.o
ablfacrp.k
ablfacrp.l
ablfacrp.g
ablfacrp.m
ablfacrp.n
ablfacrp.1
ablfacrp.2
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9
32nnnn0d 9971 . . . . . . . 8
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9
54nnnn0d 9971 . . . . . . . 8
63, 5nn0mulcld 9976 . . . . . . 7
71, 6eqeltrd 2330 . . . . . 6
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8
9 fvex 5458 . . . . . . . 8
108, 9eqeltri 2326 . . . . . . 7
11 hashclb 11304 . . . . . . 7
1210, 11ax-mp 10 . . . . . 6
137, 12sylibr 205 . . . . 5
14 ablfacrp.k . . . . . 6
15 ssrab2 3219 . . . . . 6
1614, 15eqsstri 3169 . . . . 5
17 ssfi 7037 . . . . 5
1813, 16, 17sylancl 646 . . . 4
19 hashcl 11302 . . . 4
2018, 19syl 17 . . 3
21 ablfacrp.g . . . . . . . 8
222nnzd 10069 . . . . . . . 8
23 ablfacrp.o . . . . . . . . 9
2423, 8oddvdssubg 15095 . . . . . . . 8 SubGrp
2521, 22, 24syl2anc 645 . . . . . . 7 SubGrp
2614, 25syl5eqel 2340 . . . . . 6 SubGrp
278lagsubg 14627 . . . . . 6 SubGrp
2826, 13, 27syl2anc 645 . . . . 5
292nncnd 9716 . . . . . . 7
304nncnd 9716 . . . . . . 7
3129, 30mulcomd 8810 . . . . . 6
321, 31eqtrd 2288 . . . . 5
3328, 32breqtrd 4007 . . . 4
34 ablfacrp.l . . . . 5
35 ablfacrp.1 . . . . 5
368, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1ablfacrplem 15248 . . . 4
3720nn0zd 10068 . . . . 5
384nnzd 10069 . . . . 5
39 coprmdvds 12729 . . . . 5
4037, 38, 22, 39syl3anc 1187 . . . 4
4133, 36, 40mp2and 663 . . 3
4223, 8oddvdssubg 15095 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
4321, 38, 42syl2anc 645 . . . . . . . . . 10 SubGrp
4434, 43syl5eqel 2340 . . . . . . . . 9 SubGrp
458lagsubg 14627 . . . . . . . . 9 SubGrp
4644, 13, 45syl2anc 645 . . . . . . . 8
4746, 1breqtrd 4007 . . . . . . 7
48 gcdcom 12647 . . . . . . . . . 10
4922, 38, 48syl2anc 645 . . . . . . . . 9
5049, 35eqtr3d 2290 . . . . . . . 8
518, 23, 34, 14, 21, 4, 2, 50, 32ablfacrplem 15248 . . . . . . 7
52 ssrab2 3219 . . . . . . . . . . . 12
5334, 52eqsstri 3169 . . . . . . . . . . 11
54 ssfi 7037 . . . . . . . . . . 11
5513, 53, 54sylancl 646 . . . . . . . . . 10
56 hashcl 11302 . . . . . . . . . 10
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9
5857nn0zd 10068 . . . . . . . 8
59 coprmdvds 12729 . . . . . . . 8
6058, 22, 38, 59syl3anc 1187 . . . . . . 7
6147, 51, 60mp2and 663 . . . . . 6
62 dvdscmul 12503 . . . . . . 7
6358, 38, 22, 62syl3anc 1187 . . . . . 6
6461, 63mpd 16 . . . . 5
65 eqid 2256 . . . . . . . . . 10
66 eqid 2256 . . . . . . . . . 10
678, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1, 65, 66ablfacrp 15249 . . . . . . . . 9
6867simprd 451 . . . . . . . 8
6968fveq2d 5448 . . . . . . 7
70 eqid 2256 . . . . . . . 8 Cntz Cntz
7167simpld 447 . . . . . . . 8
7270, 21, 26, 44ablcntzd 15097 . . . . . . . 8 Cntz
7366, 65, 70, 26, 44, 71, 72, 18, 55lsmhash 14962 . . . . . . 7
7469, 73eqtr3d 2290 . . . . . 6
7574, 1eqtr3d 2290 . . . . 5
7664, 75breqtrrd 4009 . . . 4
7765subg0cl 14577 . . . . . . . 8 SubGrp
78 ne0i 3422 . . . . . . . 8
7944, 77, 783syl 20 . . . . . . 7
80 hashnncl 11306 . . . . . . . 8
8155, 80syl 17 . . . . . . 7
8279, 81mpbird 225 . . . . . 6
8382nnne0d 9744 . . . . 5
84 dvdsmulcr 12506 . . . . 5
8522, 37, 58, 83, 84syl112anc 1191 . . . 4
8676, 85mpbid 203 . . 3
87 dvdseq 12524 . . 3
8820, 3, 41, 86, 87syl22anc 1188 . 2
89 dvdsmulc 12504 . . . . . . 7
9037, 22, 38, 89syl3anc 1187 . . . . . 6
9141, 90mpd 16 . . . . 5
9291, 75breqtrrd 4009 . . . 4
9388, 2eqeltrd 2330 . . . . . 6
9493nnne0d 9744 . . . . 5
95 dvdscmulr 12505 . . . . 5
9638, 58, 37, 94, 95syl112anc 1191 . . . 4
9792, 96mpbid 203 . . 3
98 dvdseq 12524 . . 3
9957, 5, 61, 97, 98syl22anc 1188 . 2
10088, 99jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2419  crab 2520  cvv 2757   cin 3112   wss 3113  c0 3416  csn 3600   class class class wbr 3983  cfv 4659  (class class class)co 5778  cfn 6817  cc0 8691  c1 8692   cmul 8696  cn 9700  cn0 9918  cz 9977  chash 11289   cdivides 12479   cgcd 12633  cbs 13096  c0g 13348  SubGrpcsubg 14563  Cntzccntz 14739  cod 14788  clsm 14893  cabel 15038 This theorem is referenced by:  ablfac1a  15252 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-disj 3954  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-ec 6616  df-qs 6620  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-fac 11241  df-bc 11268  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-sum 12110  df-divides 12480  df-gcd 12634  df-prime 12707  df-pc 12838  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-0g 13352  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-sbg 14439  df-mulg 14440  df-subg 14566  df-eqg 14568  df-ga 14692  df-cntz 14741  df-od 14792  df-lsm 14895  df-pj1 14896  df-cmn 15039  df-abl 15040
 Copyright terms: Public domain W3C validator