Theorem ablgrp 8102

Description: An Abelian group operation is a group operation.

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- (G e. Abel -> G e. Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . 3 |- ran G = ran G
2	1	isabl 8101	. 2 |- (G e. Abel <-> (G e. Grp /\ A.x e. ran GA.y e. ran G(xGy) = (yGx)))
3	2	pm3.26bi 322	1 |- (G e. Abel -> G e. Grp)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  ran crn 3171  (class class class)co 3963  Grpcgr 8033  Abelcabl 8099

This theorem is referenced by:  abl23 8104  abl4 8105  ablmuldiv 8107  abldivdiv 8108  abldivdiv4 8109  ablnnncan 8111  ablnncan 8112  ablnnncan1 8113  cnid 8127  addinv 8128  readdsubg 8129  zaddsubg 8130  mulid 8132  ringgrp 8151  cnring 8162  vcgrp 8177  vcoprnelem 8197  isvc 8200  isvci 8201  nvgrp 8236  cnnv 8307  cnnvba 8309  cnph 8478  shftefif1olem 8741  hilid 9028  hhnv 9032  hhba 9034  hhph 9045  hhssabl 9132  hhssnv 9134

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965  df-abl 8100

Copyright terms: Public domain