MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablnnncan1 Unicode version

Theorem ablnnncan1 15140
Description: Cancellation law for subtraction. (nnncan1 9099 analog.) (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablnncan.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablnncan.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ablnncan.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablnncan.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ablnncan.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
ablsub32.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
ablnnncan1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) )  =  ( Z  .-  Y ) )

Proof of Theorem ablnnncan1
StepHypRef Expression
1 ablnncan.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 ablnncan.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
3 ablnncan.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
4 ablnncan.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 ablnncan.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 ablgrp 15110 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
73, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
8 ablsub32.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
91, 2grpsubcl 14562 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  e.  B )
107, 4, 8, 9syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Z
)  e.  B )
111, 2, 3, 4, 5, 10ablsub32 15139 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( X 
.-  ( X  .-  Z ) )  .-  Y ) )
121, 2, 3, 4, 8ablnncan 15138 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( X  .-  Z ) )  =  Z )
1312oveq1d 5889 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  ( X  .-  Z ) )  .-  Y )  =  ( Z  .-  Y ) )
1411, 13eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) )  =  ( Z  .-  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381   Abelcabel 15106
This theorem is referenced by:  minveclem2  18806  ply1divmo  19537  baerlem3lem2  32522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108
  Copyright terms: Public domain W3C validator