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Theorem ablo4pnp 26673
Description: A commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
abl4pnp.1  |-  X  =  ran  G
abl4pnp.2  |-  D  =  (  /g  `  G
)
Assertion
Ref Expression
ablo4pnp  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) D ( C G F ) )  =  ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )

Proof of Theorem ablo4pnp
StepHypRef Expression
1 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  C  e.  X ) )
2 abl4pnp.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
3 abl4pnp.2 . . . . . 6  |-  D  =  (  /g  `  G
)
42, 3ablomuldiv 20972 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G B ) D C )  =  ( ( A D C ) G B ) )
51, 4sylan2br 462 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( A G B ) D C )  =  ( ( A D C ) G B ) )
65adantrrr 705 . . 3  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) D C )  =  ( ( A D C ) G B ) )
76oveq1d 5889 . 2  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) D C ) D F )  =  ( ( ( A D C ) G B ) D F ) )
8 ablogrpo 20967 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
92grpocl 20883 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
1093expib 1154 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X ) )
118, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X ) )
1211anim1d 547 . . . . 5  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X
) )  ->  (
( A G B )  e.  X  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X
) ) ) )
13 3anass 938 . . . . 5  |-  ( ( ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  F  e.  X )  <->  ( ( A G B )  e.  X  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X
) ) )
1412, 13syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X
) )  ->  (
( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  F  e.  X )
) )
1514imp 418 . . 3  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  F  e.  X ) )
162, 3ablodivdiv4 20974 . . 3  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  F  e.  X )
)  ->  ( (
( A G B ) D C ) D F )  =  ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
1715, 16syldan 456 . 2  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) D C ) D F )  =  ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
182, 3grpodivcl 20930 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A D C )  e.  X )
19183expib 1154 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A D C )  e.  X ) )
2019anim1d 547 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( (
( A  e.  X  /\  C  e.  X
)  /\  ( B  e.  X  /\  F  e.  X ) )  -> 
( ( A D C )  e.  X  /\  ( B  e.  X  /\  F  e.  X
) ) ) )
21 an4 797 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) )  <->  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  ( B  e.  X  /\  F  e.  X
) ) )
22 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( ( A D C )  e.  X  /\  B  e.  X  /\  F  e.  X )  <->  ( ( A D C )  e.  X  /\  ( B  e.  X  /\  F  e.  X
) ) )
2320, 21, 223imtr4g 261 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) )  -> 
( ( A D C )  e.  X  /\  B  e.  X  /\  F  e.  X
) ) )
2423imp 418 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) ) )  ->  ( ( A D C )  e.  X  /\  B  e.  X  /\  F  e.  X ) )
252, 3grpomuldivass 20932 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A D C )  e.  X  /\  B  e.  X  /\  F  e.  X )
)  ->  ( (
( A D C ) G B ) D F )  =  ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
2624, 25syldan 456 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( A D C ) G B ) D F )  =  ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
278, 26sylan 457 . 2  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( A D C ) G B ) D F )  =  ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
287, 17, 273eqtr3d 2336 1  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  F  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) D ( C G F ) )  =  ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   GrpOpcgr 20869    /g cgs 20872   AbelOpcablo 20964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965
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