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Theorem ablomul 21038
Description: Nonzero complex number multiplication is an Abelian group operation. (Contributed by Steve Rodriguez, 12-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ablomul  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  AbelOp

Proof of Theorem ablomul
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8834 . . . 4  |-  CC  e.  _V
2 difexg 4178 . . . 4  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
4 mulnzcnopr 9430 . . 3  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) : ( ( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) --> ( CC  \  {
0 } )
5 ovres 6003 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  =  ( x  x.  y ) )
6 eldifsn 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
7 eldifsn 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
8 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
98ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
10 mulne0 9426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  =/=  0 )
119, 10jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y
)  =/=  0 ) )
126, 7, 11syl2anb 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y )  =/=  0 ) )
13 eldifsn 3762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y
)  =/=  0 ) )
1412, 13sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
155, 14eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
1615anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )
17163impa 1146 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
18 ovres 6003 . . . . 5  |-  ( ( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) y )  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y ) (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z )  =  ( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  x.  z ) )
1917, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  =  ( ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  x.  z ) )
2053adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x
(  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  =  ( x  x.  y
) )
2120oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  x.  z )  =  ( ( x  x.  y
)  x.  z ) )
22 eldifi 3311 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
23 eldifi 3311 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  e.  CC )
24 eldifi 3311 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  CC )
25 mulass 8841 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  z )  =  ( x  x.  ( y  x.  z
) ) )
2622, 23, 24, 25syl3an 1224 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  z )  =  ( x  x.  (
y  x.  z ) ) )
27 ovres 6003 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  =  ( y  x.  z ) )
2827eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y  x.  z )  =  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) )
29283adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y  x.  z )  =  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) )
3029oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x  x.  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) ) )
314fovcl 5965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
3227, 31eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y  x.  z )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
33 ovres 6003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( y  x.  z )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) ( y  x.  z ) )  =  ( x  x.  ( y  x.  z ) ) )
3433eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( y  x.  z )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) ) )
3532, 34sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) ) )
36353impb 1147 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) ) )
3729oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x
(  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) )  =  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) ) )
3836, 30, 373eqtr3d 2336 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) z ) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z ) ) )
3926, 30, 383eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  z )  =  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) ) )
4019, 21, 393eqtrd 2332 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z ) ) )
41 ax-1cn 8811 . . . 4  |-  1  e.  CC
42 ax-1ne0 8822 . . . 4  |-  1  =/=  0
43 eldifsn 3762 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
4441, 42, 43mpbir2an 886 . . 3  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
45 ovres 6003 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( 1 (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( 1  x.  x ) )
4644, 45mpan 651 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1 (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( 1  x.  x ) )
4722mulid2d 8869 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  x.  x )  =  x )
4846, 47eqtrd 2328 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1 (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  x )
49 reccl 9447 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
50 recne0 9453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  =/=  0 )
5149, 50jca 518 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
526, 51sylbi 187 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x )  =/=  0 ) )
53 eldifsn 3762 . . . 4  |-  ( ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
5452, 53sylibr 203 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
55 ovres 6003 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( 1  /  x ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )
5654, 55mpancom 650 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )
57 recid2 9455 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  x.  x
)  =  1 )
586, 57sylbi 187 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x )  x.  x )  =  1 )
5956, 58eqtrd 2328 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  1 )
603, 4, 40, 44, 48, 54, 59isgrpoi 20881 . 2  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  GrpOp
614fdmi 5410 . 2  |-  dom  (  x.  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )  =  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) )
62 mulcom 8839 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
6322, 23, 62syl2an 463 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  =  ( y  x.  x ) )
64 ovres 6003 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( y  x.  x ) )
6564ancoms 439 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( y  x.  x ) )
6663, 5, 653eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  =  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) x ) )
6760, 61, 66isabloi 20971 1  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  AbelOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653    X. cxp 4703    |` cres 4707  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    / cdiv 9439   AbelOpcablo 20964
This theorem is referenced by:  mulid  21039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-grpo 20874  df-ablo 20965
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