MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablosn Unicode version

Theorem ablosn 20974
Description: The Abelian group operation for the singleton group. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ablsn.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ablosn  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  AbelOp

Proof of Theorem ablosn
StepHypRef Expression
1 ablsn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
21grposn 20842 . 2  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp
31dmsnop 5134 . . 3  |-  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. }
41, 1xpsn 5634 . . 3  |-  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. }
53, 4eqtr4i 2281 . 2  |-  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  ( { A }  X.  { A } )
6 elsn 3629 . . 3  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
7 elsn 3629 . . 3  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
8 oveq12 5801 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
9 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x )  =  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
10 oveq1 5799 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A ) )
119, 10sylan9eq 2310 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x )  =  ( A { <. <. A ,  A >. ,  A >. } A
) )
128, 11eqtr4d 2293 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  A )  ->  ( x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( y {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } x
) )
136, 7, 12syl2anb 467 . 2  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x { <. <. A ,  A >. ,  A >. } y )  =  ( y { <. <. A ,  A >. ,  A >. } x ) )
142, 5, 13isabloi 20915 1  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  AbelOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763   {csn 3614   <.cop 3617    X. cxp 4659   dom cdm 4661  (class class class)co 5792   AbelOpcablo 20908
This theorem is referenced by:  rngosn  21031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-grpo 20818  df-ablo 20909
  Copyright terms: Public domain W3C validator