MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablpncan3 Unicode version

Theorem ablpncan3 15370
Description: A cancellation law for commutative groups. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ablpncan3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X
) )  =  Y )

Proof of Theorem ablpncan3
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  G  e.  Abel )
2 simprl 733 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
3 ablgrp 15346 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
43adantr 452 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  G  e.  Grp )
5 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
6 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 ablsubadd.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
86, 7grpsubcl 14798 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .-  X
)  e.  B )
94, 5, 2, 8syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( Y  .-  X )  e.  B
)
10 ablsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
116, 10ablcom 15358 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .-  X )  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X ) )  =  ( ( Y  .-  X )  .+  X
) )
121, 2, 9, 11syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X
) )  =  ( ( Y  .-  X
)  .+  X )
)
136, 10, 7grpnpcan 14809 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( Y  .-  X )  .+  X
)  =  Y )
144, 5, 2, 13syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( Y  .-  X )  .+  X )  =  Y )
1512, 14eqtrd 2421 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X  .+  ( Y  .-  X
) )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   Grpcgrp 14614   -gcsg 14617   Abelcabel 15342
This theorem is referenced by:  tsmsxplem2  18106  pjthlem2  19208
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-cmn 15343  df-abl 15344
  Copyright terms: Public domain W3C validator