Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  abrexdomjm Structured version   Unicode version

Theorem abrexdomjm 23988
Description: An indexed set is dominated by the indexing set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
abrexdomjm.1  |-  ( y  e.  A  ->  E* x ph )
Assertion
Ref Expression
abrexdomjm  |-  ( A  e.  V  ->  { x  |  E. y  e.  A  ph }  ~<_  A )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem abrexdomjm
StepHypRef Expression
1 df-rex 2711 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  ph  <->  E. y ( y  e.  A  /\  ph )
)
21abbii 2548 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  A  ph }  =  { x  |  E. y ( y  e.  A  /\  ph ) }
3 rnopab 5115 . . 3  |-  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  =  { x  |  E. y ( y  e.  A  /\  ph ) }
42, 3eqtr4i 2459 . 2  |-  { x  |  E. y  e.  A  ph }  =  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }
5 dmopabss 5081 . . . . 5  |-  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A
6 ssexg 4349 . . . . 5  |-  ( ( dom  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V )
75, 6mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V )
8 funopab 5486 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } 
<-> 
A. y E* x
( y  e.  A  /\  ph ) )
9 abrexdomjm.1 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  E* x ph )
10 moanimv 2339 . . . . . . . 8  |-  ( E* x ( y  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  E* x ph ) )
119, 10mpbir 201 . . . . . . 7  |-  E* x
( y  e.  A  /\  ph )
128, 11mpgbir 1559 . . . . . 6  |-  Fun  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  Fun  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
14 funfn 5482 . . . . 5  |-  ( Fun 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } 
<->  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
1513, 14sylib 189 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
16 fnrndomg 8413 . . . 4  |-  ( dom 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V  ->  ( { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } ) )
177, 15, 16sylc 58 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
18 ssdomg 7153 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A ) )
195, 18mpi 17 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
20 domtr 7160 . . 3  |-  ( ( ran  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  /\  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )  ->  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
2117, 19, 20syl2anc 643 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
224, 21syl5eqbr 4245 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  |  E. y  e.  A  ph }  ~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725   E*wmo 2282   {cab 2422   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   {copab 4265   dom cdm 4878   ran crn 4879   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449    ~<_ cdom 7107
This theorem is referenced by:  abrexdom2jm  23989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-ac2 8343
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-card 7826  df-acn 7829  df-ac 7997
  Copyright terms: Public domain W3C validator