MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abrexex2g Structured version   Unicode version

Theorem abrexex2g 5980
Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
abrexex2g  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  { y  |  E. x  e.  A  ph }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, V, y    x, W, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2g
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ z E. x  e.  A  ph
2 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ y A
3 nfs1v 2181 . . . . 5  |-  F/ y [ z  /  y ] ph
42, 3nfrex 2753 . . . 4  |-  F/ y E. x  e.  A  [ z  /  y ] ph
5 sbequ12 1944 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  y ] ph ) )
65rexbidv 2718 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  [
z  /  y ]
ph ) )
71, 4, 6cbvab 2553 . . 3  |-  { y  |  E. x  e.  A  ph }  =  { z  |  E. x  e.  A  [
z  /  y ]
ph }
8 df-clab 2422 . . . . 5  |-  ( z  e.  { y  | 
ph }  <->  [ z  /  y ] ph )
98rexbii 2722 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  { y  | 
ph }  <->  E. x  e.  A  [ z  /  y ] ph )
109abbii 2547 . . 3  |-  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  {
y  |  ph } }  =  { z  |  E. x  e.  A  [ z  /  y ] ph }
117, 10eqtr4i 2458 . 2  |-  { y  |  E. x  e.  A  ph }  =  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  { y  |  ph } }
12 df-iun 4087 . . 3  |-  U_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  {
z  |  E. x  e.  A  z  e.  { y  |  ph } }
13 iunexg 5979 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  { y  |  ph }  e.  _V )
1412, 13syl5eqelr 2520 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  {
y  |  ph } }  e.  _V )
1511, 14syl5eqel 2519 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  { y  |  E. x  e.  A  ph }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   [wsb 1658    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   U_ciun 4085
This theorem is referenced by:  ptrescn  17663  sdclem2  26427  sdclem1  26428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454
  Copyright terms: Public domain W3C validator