Theorem abrexexlem2 3844

Description: Lemma for abrexex 3845. Almost there, but still requires that B be a set.

Hypotheses

Ref	Expression
abrexexlem2.1	|- A e. V
abrexexlem2.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
abrexexlem2	|- {y | E.x e. A y = B} e. V

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B

Proof of Theorem abrexexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
2	1	biantrur 723	. . . . . . . . . 10 |- (y = B <-> (x e. V /\ y = B))
3	2	opabbii 2661	. . . . . . . . 9 |- {<.x, y>. | y = B} = {<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}
4	3	fveq1i 3710	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | y = B}` x) = ({<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}` x)
5		abrexexlem2.2	. . . . . . . . 9 |- B e. V
6		fvopab2 3776	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ B e. V) -> ({<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}` x) = B)
7	1, 5, 6	mp2an 695	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}` x) = B
8	4, 7	eqtr 1487	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | y = B}` x) = B
9	8	eqeq2i 1477	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> y = B)
10	9	rexbii 1660	. . . . 5 |- (E.x e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> E.x e. A y = B)
11		ax-17 968	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) -> A.z y = ({<.x, y>. | y = B}` x))
12		ax-17 968	. . . . . . 7 |- (w e. y -> A.x w e. y)
13		hbopab1 2802	. . . . . . . 8 |- (w e. {<.x, y>. | y = B} -> A.x w e. {<.x, y>. | y = B})
14		ax-17 968	. . . . . . . 8 |- (w e. z -> A.x w e. z)
15	13, 14	hbfv 3714	. . . . . . 7 |- (w e. ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.x w e. ({<.x, y>. | y = B}` z))
16	12, 15	hbeq 1557	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.x y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
17		fveq2 3709	. . . . . . 7 |- (x = z -> ({<.x, y>. | y = B}` x) = ({<.x, y>. | y = B}` z))
18	17	eqeq2d 1478	. . . . . 6 |- (x = z -> (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> y = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
19	11, 16, 18	cbvrex 1790	. . . . 5 |- (E.x e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
20	10, 19	bitr3 175	. . . 4 |- (E.x e. A y = B <-> E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
21	20	abbii 1567	. . 3 |- {y | E.x e. A y = B} = {y | E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
22		ax-17 968	. . . 4 |- (E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.wE.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
23		ax-17 968	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
24		ax-17 968	. . . . . 6 |- (x e. w -> A.y x e. w)
25		hbopab2 2803	. . . . . . 7 |- (w e. {<.x, y>. | y = B} -> A.y w e. {<.x, y>. | y = B})
26		ax-17 968	. . . . . . 7 |- (w e. z -> A.y w e. z)
27	25, 26	hbfv 3714	. . . . . 6 |- (w e. ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.y w e. ({<.x, y>. | y = B}` z))
28	24, 27	hbeq 1557	. . . . 5 |- (w = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.y w = ({<.x, y>. | y = B}` z))
29	23, 28	hbrex 1680	. . . 4 |- (E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.yE.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z))
30		eqeq1 1473	. . . . 5 |- (y = w -> (y = ({<.x, y>. | y = B}` z) <-> w = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
31	30	rexbidv 1656	. . . 4 |- (y = w -> (E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z) <-> E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
32	22, 29, 31	cbvab 1899	. . 3 |- {y | E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z)} = {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
33	21, 32	eqtr 1487	. 2 |- {y | E.x e. A y = B} = {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
34		abrexexlem2.1	. . 3 |- A e. V
35	34	abrexexlem1 3843	. 2 |- {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)} e. V
36	33, 35	eqeltr 1536	1 |- {y | E.x e. A y = B} e. V

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  E.wrex 1638  Vcvv 1802  {copab 2656  ` cfv 3172

This theorem is referenced by:  abrexex 3845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188

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