MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs0 Unicode version

Theorem abs0 11786
Description: The absolute value of 0. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abs0  |-  ( abs `  0 )  =  0

Proof of Theorem abs0
StepHypRef Expression
1 0cn 8847 . . 3  |-  0  e.  CC
2 absval 11739 . . 3  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( abs `  0 )  =  ( sqr `  (
0  x.  ( * `
 0 ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( abs `  0 )  =  ( sqr `  (
0  x.  ( * `
 0 ) ) )
41cjcli 11670 . . . 4  |-  ( * `
 0 )  e.  CC
54mul02i 9017 . . 3  |-  ( 0  x.  ( * ` 
0 ) )  =  0
65fveq2i 5544 . 2  |-  ( sqr `  ( 0  x.  (
* `  0 )
) )  =  ( sqr `  0 )
7 sqr0 11743 . 2  |-  ( sqr `  0 )  =  0
83, 6, 73eqtri 2320 1  |-  ( abs `  0 )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    x. cmul 8758   *ccj 11597   sqrcsqr 11734   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  abs00  11790  abs1m  11835  climconst  12033  rlimconst  12034  fsumabs  12275  georeclim  12344  geoisumr  12350  gcd0id  12718  4sqlem19  13026  absabv  16445  gzrngunit  16453  zrngunit  16454  blcvx  18320  mulc1cncf  18425  dvlip  19356  c1lip1  19360  dveq0  19363  dv11cn  19364  ftc1lem5  19403  aannenlem2  19725  aalioulem3  19730  dvradcnv  19813  abelthlem2  19824  abelthlem8  19831  tanabsge  19890  sinkpi  19903  sineq0  19905  abscxp2  20056  cxpcn3lem  20103  abscxpbnd  20109  isosctrlem2  20135  rlimcnp  20276  ftalem3  20328  mule1  20402  dchrabs2  20517  lgslem2  20552  lgsfcl2  20557  dchrisumlem3  20656  pntrsumbnd2  20732  siii  21447  bcsiALT  21774  0cnfn  22576  nmfn0  22583  nmophmi  22627  nmbdfnlbi  22645  nmcfnexi  22647  nmcfnlbi  22648  pellexlem6  27022  congabseq  27164  dvconstbi  27654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
  Copyright terms: Public domain W3C validator