MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs00 Unicode version

Theorem abs00 11739
Description: The absolute value of a number is zero iff the number is zero. Proposition 10-3.7(c) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abs00  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )

Proof of Theorem abs00
StepHypRef Expression
1 absrpcl 11738 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
21rpne0d 10362 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
32ex 425 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =/=  0  ->  ( abs `  A )  =/=  0 ) )
43necon4d 2484 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =  0  ->  A  =  0 ) )
5 fveq2 5458 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
6 abs0 11735 . . 3  |-  ( abs `  0 )  =  0
75, 6syl6eq 2306 . 2  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
84, 7impbid1 196 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   ` cfv 4673   CCcc 8703   0cc0 8705   abscabs 11684
This theorem is referenced by:  abs00ad  11740  recval  11771  absgt0  11773  abs1m  11784  abslem2  11788  sqreulem  11808  sqreu  11809  abs00i  11846  abs00d  11893  absne0d  11894  fzocongeq  12544  odnncl  14822  gexdvds  14857  gzrngunitlem  16398  gzrngunit  16399  cnmet  18243  abscxp2  20002  abscxpbnd  20055  lgsabs1  20535  2sqblem  20578  cnnv  21205  nmophmi  22571  dvconstbi  26918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-rp 10322  df-seq 11013  df-exp 11071  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686
  Copyright terms: Public domain W3C validator