Theorem abs00 6792

Description: The absolute value of a number is zero iff the number is zero. Proposition 10-3.7(c) of [Gleason] p. 133.

Hypothesis

Ref	Expression
absvalsq.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
abs00	|- ((abs` A) = 0 <-> A = 0)

Proof of Theorem abs00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalsq.1	. . . 4 |- A e. CC
2	1	absval2 6791	. . 3 |- (abs` A) = (sqr` (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)))
3	2	eqeq1i 1480	. 2 |- ((abs` A) = 0 <-> (sqr` (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2))) = 0)
4	1	recl 6712	. . . . 5 |- (Re` A) e. RR
5	4	resqcl 6568	. . . 4 |- ((Re` A)^2) e. RR
6	1	imcl 6713	. . . . 5 |- (Im` A) e. RR
7	6	resqcl 6568	. . . 4 |- ((Im` A)^2) e. RR
8	5, 7	readdcl 5317	. . 3 |- (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) e. RR
9	4	sqge0 6573	. . . 4 |- 0 <_ ((Re` A)^2)
10	6	sqge0 6573	. . . 4 |- 0 <_ ((Im` A)^2)
11	5, 7	addge0 5583	. . . 4 |- ((0 <_ ((Re` A)^2) /\ 0 <_ ((Im` A)^2)) -> 0 <_ (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)))
12	9, 10, 11	mp2an 696	. . 3 |- 0 <_ (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2))
13		sqr00t 6659	. . 3 |- (((((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) e. RR /\ 0 <_ (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2))) -> ((sqr` (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2))) = 0 <-> (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) = 0))
14	8, 12, 13	mp2an 696	. 2 |- ((sqr` (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2))) = 0 <-> (((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) = 0)
15	5, 7	add20 5586	. . . 4 |- ((0 <_ ((Re` A)^2) /\ 0 <_ ((Im` A)^2)) -> ((((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) = 0 <-> (((Re` A)^2) = 0 /\ ((Im` A)^2) = 0)))
16	9, 10, 15	mp2an 696	. . 3 |- ((((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) = 0 <-> (((Re` A)^2) = 0 /\ ((Im` A)^2) = 0))
17	4	recn 5297	. . . . 5 |- (Re` A) e. CC
18	17	sqeq0 6561	. . . 4 |- (((Re` A)^2) = 0 <-> (Re` A) = 0)
19	6	recn 5297	. . . . 5 |- (Im` A) e. CC
20	19	sqeq0 6561	. . . 4 |- (((Im` A)^2) = 0 <-> (Im` A) = 0)
21	18, 20	anbi12i 482	. . 3 |- ((((Re` A)^2) = 0 /\ ((Im` A)^2) = 0) <-> ((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0))
22		opreq1 3963	. . . . . . 7 |- ((Re` A) = 0 -> ((Re` A) + ((Im` A) x. i)) = (0 + ((Im` A) x. i)))
23		opreq1 3963	. . . . . . . 8 |- ((Im` A) = 0 -> ((Im` A) x. i) = (0 x. i))
24	23	opreq2d 3971	. . . . . . 7 |- ((Im` A) = 0 -> (0 + ((Im` A) x. i)) = (0 + (0 x. i)))
25	22, 24	sylan9eq 1525	. . . . . 6 |- (((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0) -> ((Re` A) + ((Im` A) x. i)) = (0 + (0 x. i)))
26		0cn 5311	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
27		axicn 5253	. . . . . . . . 9 |- i e. CC
28	26, 27	mulcl 5304	. . . . . . . 8 |- (0 x. i) e. CC
29	28	addid2 5314	. . . . . . 7 |- (0 + (0 x. i)) = (0 x. i)
30	27	mul02 5415	. . . . . . 7 |- (0 x. i) = 0
31	29, 30	eqtr 1493	. . . . . 6 |- (0 + (0 x. i)) = 0
32	25, 31	syl6eq 1521	. . . . 5 |- (((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0) -> ((Re` A) + ((Im` A) x. i)) = 0)
33	1	replimOLD 6716	. . . . 5 |- A = ((Re` A) + ((Im` A) x. i))
34	32, 33	syl5eq 1517	. . . 4 |- (((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0) -> A = 0)
35		fveq2 3719	. . . . . 6 |- (A = 0 -> (Re` A) = (Re` 0))
36		re0 6770	. . . . . 6 |- (Re` 0) = 0
37	35, 36	syl6eq 1521	. . . . 5 |- (A = 0 -> (Re` A) = 0)
38		fveq2 3719	. . . . . 6 |- (A = 0 -> (Im` A) = (Im` 0))
39		im0 6771	. . . . . 6 |- (Im` 0) = 0
40	38, 39	syl6eq 1521	. . . . 5 |- (A = 0 -> (Im` A) = 0)
41	37, 40	jca 288	. . . 4 |- (A = 0 -> ((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0))
42	34, 41	impbi 157	. . 3 |- (((Re` A) = 0 /\ (Im` A) = 0) <-> A = 0)
43	16, 21, 42	3bitr 177	. 2 |- ((((Re` A)^2) + ((Im` A)^2)) = 0 <-> A = 0)
44	3, 14, 43	3bitr 177	1 |- ((abs` A) = 0 <-> A = 0)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2615  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  ici 5219   + caddc 5220   x. cmul 5222   <_ cle 5278  2c2 5918  ^cexp 6513  sqrcsqr 6614  Recre 6693  Imcim 6694  abscabs 6696

This theorem is referenced by:  absgt0 6793  abs00t 6803  absdivz 6809  abs0 6829  abs1m 6856  abslem2i 6860  bcsALT 9001  pjthlem11 9184

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700

Copyright terms: Public domain