Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs1m Structured version   Unicode version

Theorem abs1m 12129
 Description: For any complex number, there exists a unit-magnitude multiplier that produces its absolute value. Part of proof of Theorem 13-2.12 of [Gleason] p. 195. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
abs1m
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem abs1m
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . . . 6
2 abs0 12080 . . . . . 6
31, 2syl6eq 2483 . . . . 5
4 oveq2 6081 . . . . 5
53, 4eqeq12d 2449 . . . 4
65anbi2d 685 . . 3
76rexbidv 2718 . 2
8 simpl 444 . . . . 5
98cjcld 11991 . . . 4
10 abscl 12073 . . . . . 6
1110adantr 452 . . . . 5
1211recnd 9104 . . . 4
13 abs00 12084 . . . . . 6
1413necon3bid 2633 . . . . 5
1514biimpar 472 . . . 4
169, 12, 15divcld 9780 . . 3
17 absdiv 12090 . . . . 5
189, 12, 15, 17syl3anc 1184 . . . 4
19 abscj 12074 . . . . . 6
2019adantr 452 . . . . 5
21 absidm 12117 . . . . . 6
2221adantr 452 . . . . 5
2320, 22oveq12d 6091 . . . 4
2412, 15dividd 9778 . . . 4
2518, 23, 243eqtrd 2471 . . 3
268, 9, 12, 15divassd 9815 . . . 4
2712, 12, 15divcan3d 9785 . . . . 5
2812sqvald 11510 . . . . . . 7
29 absvalsq 12075 . . . . . . . 8
3029adantr 452 . . . . . . 7
3128, 30eqtr3d 2469 . . . . . 6
3231oveq1d 6088 . . . . 5
3327, 32eqtr3d 2469 . . . 4
3416, 8mulcomd 9099 . . . 4
3526, 33, 343eqtr4d 2477 . . 3
36 fveq2 5720 . . . . . 6
3736eqeq1d 2443 . . . . 5
38 oveq1 6080 . . . . . 6
3938eqeq2d 2446 . . . . 5
4037, 39anbi12d 692 . . . 4
4140rspcev 3044 . . 3
4216, 25, 35, 41syl12anc 1182 . 2
43 ax-icn 9039 . . . 4
44 absi 12081 . . . . 5
4543mul01i 9246 . . . . . 6
4645eqcomi 2439 . . . . 5
4744, 46pm3.2i 442 . . . 4
48 fveq2 5720 . . . . . . 7
4948eqeq1d 2443 . . . . . 6
50 oveq1 6080 . . . . . . 7
5150eqeq2d 2446 . . . . . 6
5249, 51anbi12d 692 . . . . 5
5352rspcev 3044 . . . 4
5443, 47, 53mp2an 654 . . 3
5554a1i 11 . 2
567, 42, 55pm2.61ne 2673 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8978  cr 8979  cc0 8980  c1 8981  ci 8982   cmul 8985   cdiv 9667  c2 10039  cexp 11372  ccj 11891  cabs 12029 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031
 Copyright terms: Public domain W3C validator